Главная > Курс локальной дифференциальной геометрии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

23. Дополнение о коллинеациях.

Мы видели (§ 21), что преобразования проективной группы являются коллинеациями в пространстве т. е. переводят всякую прямую в прямую. Вообще мы покажем, что всякое непрерывное отображение пространства на другое проективное пространство непременно будет проективным преобразованием, т. е. будет иметь форму

если только оно переводит систему линейно независимых точек пространства также в линейно независимую систему точек пространства а прямые переводит в прямые.

Мы проведем доказательство для Проективные преобразования пространства в пространство зависят от 15 параметров. Пусть такая коллинеация, что точки из образующие истинный тетраэдр, имеют образами в точки также образующие истинный тетраэдр.

Пусть, далее, точка плоскости образующая вместе с этой тройкой точек истинный четырехугольник. Я утверждаю, что ее образ составляет вместе с также, истинный четырехугольник. Действительно, если бы, например, точка лежала на прямой скажем, внутри треугольника то прямые ( на , см. рис. 5) имели

бы образом прямую Следовательно, прямая имела бы образом также прямую поэтому точка лежащая на между , имела бы также образом точку Мы можем повторить наши рассуждения, начиная с точки мы нашли бы тогда точку между также имеющую своим образом, и т. д. Но точки стремятся к точке а, имеющей образом и в то же время все точки последовательности имеют своим образом точку наше преобразование не было бы непрерывным.

Пусть, далее, две различные прямые, проходящие через точку а, причем точки лежат с точкой на одной прямой, не содержащей сторон треугольника (рис. 6); пусть образ точки тогда фигура будет треугольником, и точка образ не лежит, как мы видим, на сторонах этого треугольника. В частности, она не лежит на ахрь т. е. две прямые — образы прямых различны.

Рис. 5.

Повторяя это рассуждение для точек мы видим, что две разные прямые, проходящие через одну и ту же вершину треугольника имеют различные образы; отсюда тотчас же следует, что две разные точки плоскости имеют различные образы в плоскости

Рассуждения и результаты эти непосредственно распространяются на пространство.

Пусть проективное отображение пространства на пространство переводящее четверку точек составляющих четырехугольник в плоскости соответственно в точки пространства Преобразование будет преобразованием пространства на себя, переводящим прямые в прямые и имеющим двойными (неподвижными) точки Прямые, попарно соединяющие эти точки, будут своими собственными образами.

В частности, точки отмеченные на рис. 7, также будут двойными. Соединяя с точкой мы получим новую прямую, являющуюся двойной при преобразовании причем она пересекает в новой двойной точке, Расположенной на чертеже между тогда как прямые дают нам две новые двойные точки, также расположенные на но вне сегмента . Можно повторить рассуждение, начиная с произвольной пары Двойных точек на Таким образом, на прямой внутри или вне произвольного сегмента, ограниченного парой двойных точек, существует всегда еле мере одна новая двойная точка преобразования Отсюда следует, что множество двойных точек преобразования плотно на преобразование непрерывно, то прямая сплошь состоит из иных точек. То же самое справедливо относительно любой другой Прямой,

проведенной на чертеже, например относительно тройки прямых Так как всякая отличная от них прямая, не проходящая через точки образует четырехугольник вместе с предыдущими, мы снова можем повторить наше рассуждение и получить, что эта прямая состоит из двойных точек. Прямая, проходящая чрез а, из тех, что изображены на чертеже, образует четырехугольник с тройкой прямых Итак, это опять прямая, состоящая из двойных точек. Аналогичное рассуждение показывает, что то же самое имеет место для прямых, проходящих через

Рис. 6.

Рис. 7.

Окончательно мы получаем, что преобразование оставляет инвариантными все точки плоскости

Так как мы использовали только параметров для каждой из точек и только для точки которая уже лежит в плоскости мы располагаем еще четырьмя параметрами. Мы употребим три из них, чтобы обеспечить преобразование при помощи точки в точку и последний параметр для того, чтобы перевести точку прямой в точку (где отлична от и от Тогда будет вполне определено.

Рис. 8.

В плоскости преобразование имеет четыре двойные точки: и пересечение прямых Эти точки образуют истинный четырехугольник (рис. 8). На основании предыдущего все точки этой плоскости будут двойными. В частности, прямая состоит из двойных точек, Рассматривая на этой прямой точку, отличную от мы получим в этой плоскости четыре двойные точки, образующие четырехугольник, т. е. плоскость состоит из двойных точек. Тогда произвольная плоскость, проходящая через есть снова плоскость, состоящая из двойных точек, поскольку она содержит две прямые, состоящие из двойных точек, а именно прямые пересечения этой плоскости с плоскостями На этих прямых можно расположить четверку точек, образующих четырехугольник. Беря, в частности, плоскость, проходящую через и другую точку пространства, мы видим окончательно, что последняя есть двойная точка преобразования Итак, все точки пространства двойные, т. е. преобразование есть тождественное преобразование; отсюда следует, что есть проективное преобразование.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru