23. Дополнение о коллинеациях.

Мы видели (§ 21), что преобразования проективной группы являются коллинеациями в пространстве т. е. переводят всякую прямую в прямую. Вообще мы покажем, что всякое непрерывное отображение пространства на другое проективное пространство непременно будет проективным преобразованием, т. е. будет иметь форму

если только оно переводит систему линейно независимых точек пространства также в линейно независимую систему точек пространства а прямые переводит в прямые.

Мы проведем доказательство для Проективные преобразования пространства в пространство зависят от 15 параметров. Пусть такая коллинеация, что точки из образующие истинный тетраэдр, имеют образами в точки также образующие истинный тетраэдр.

Пусть, далее, точка плоскости образующая вместе с этой тройкой точек истинный четырехугольник. Я утверждаю, что ее образ составляет вместе с также, истинный четырехугольник. Действительно, если бы, например, точка лежала на прямой скажем, внутри треугольника то прямые ( на , см. рис. 5) имели

бы образом прямую Следовательно, прямая имела бы образом также прямую поэтому точка лежащая на между , имела бы также образом точку Мы можем повторить наши рассуждения, начиная с точки мы нашли бы тогда точку между также имеющую своим образом, и т. д. Но точки стремятся к точке а, имеющей образом и в то же время все точки последовательности имеют своим образом точку наше преобразование не было бы непрерывным.

Пусть, далее, две различные прямые, проходящие через точку а, причем точки лежат с точкой на одной прямой, не содержащей сторон треугольника (рис. 6); пусть образ точки тогда фигура будет треугольником, и точка образ не лежит, как мы видим, на сторонах этого треугольника. В частности, она не лежит на ахрь т. е. две прямые — образы прямых различны.

Рис. 5.

Повторяя это рассуждение для точек мы видим, что две разные прямые, проходящие через одну и ту же вершину треугольника имеют различные образы; отсюда тотчас же следует, что две разные точки плоскости имеют различные образы в плоскости

Рассуждения и результаты эти непосредственно распространяются на пространство.

Пусть проективное отображение пространства на пространство переводящее четверку точек составляющих четырехугольник в плоскости соответственно в точки пространства Преобразование будет преобразованием пространства на себя, переводящим прямые в прямые и имеющим двойными (неподвижными) точки Прямые, попарно соединяющие эти точки, будут своими собственными образами.

В частности, точки отмеченные на рис. 7, также будут двойными. Соединяя с точкой мы получим новую прямую, являющуюся двойной при преобразовании причем она пересекает в новой двойной точке, Расположенной на чертеже между тогда как прямые дают нам две новые двойные точки, также расположенные на но вне сегмента . Можно повторить рассуждение, начиная с произвольной пары Двойных точек на Таким образом, на прямой внутри или вне произвольного сегмента, ограниченного парой двойных точек, существует всегда еле мере одна новая двойная точка преобразования Отсюда следует, что множество двойных точек преобразования плотно на преобразование непрерывно, то прямая сплошь состоит из иных точек. То же самое справедливо относительно любой другой Прямой,

проведенной на чертеже, например относительно тройки прямых Так как всякая отличная от них прямая, не проходящая через точки образует четырехугольник вместе с предыдущими, мы снова можем повторить наше рассуждение и получить, что эта прямая состоит из двойных точек. Прямая, проходящая чрез а, из тех, что изображены на чертеже, образует четырехугольник с тройкой прямых Итак, это опять прямая, состоящая из двойных точек. Аналогичное рассуждение показывает, что то же самое имеет место для прямых, проходящих через

Рис. 6.

Рис. 7.

Окончательно мы получаем, что преобразование оставляет инвариантными все точки плоскости

Так как мы использовали только параметров для каждой из точек и только для точки которая уже лежит в плоскости мы располагаем еще четырьмя параметрами. Мы употребим три из них, чтобы обеспечить преобразование при помощи точки в точку и последний параметр для того, чтобы перевести точку прямой в точку (где отлична от и от Тогда будет вполне определено.

Рис. 8.

В плоскости преобразование имеет четыре двойные точки: и пересечение прямых Эти точки образуют истинный четырехугольник (рис. 8). На основании предыдущего все точки этой плоскости будут двойными. В частности, прямая состоит из двойных точек, Рассматривая на этой прямой точку, отличную от мы получим в этой плоскости четыре двойные точки, образующие четырехугольник, т. е. плоскость состоит из двойных точек. Тогда произвольная плоскость, проходящая через есть снова плоскость, состоящая из двойных точек, поскольку она содержит две прямые, состоящие из двойных точек, а именно прямые пересечения этой плоскости с плоскостями На этих прямых можно расположить четверку точек, образующих четырехугольник. Беря, в частности, плоскость, проходящую через и другую точку пространства, мы видим окончательно, что последняя есть двойная точка преобразования Итак, все точки пространства двойные, т. е. преобразование есть тождественное преобразование; отсюда следует, что есть проективное преобразование.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)