14. Преобразования. Группы преобразований.

Пусть некоторое множество. Говоря о преобразовании, мы будем иметь в виду взаимно однозначное отображение множества на себя

Положим Тождественное преобразование отображает каждый элемент на себя:

Пусть у — другое преобразование; положим

и условимся говорить, что получается из а преобразованием

Пусть теперь множество взаимно однозначных преобразований содержащее содержащее вместе с вместе с х и у; непосредственно очевидно, что выполняется закон ассоциативности. Тогда образует группу преобразований множества Элементы множества называются объектами, на которых действует группа.

Группа называется транзитивной, если для любых двух объектов в существует преобразование из переводящее один объект в другой; если это преобразование единственно для всякой пары объектов из то группа называется просто транзитивной. В частности, рассмотрим, в качестве множителя саму группу и положим эта группа преобразований просто транзитивна.

Вообще, пусть транзитивная группа действует на множестве выберем в элемент а. Множество преобразований из оставляющих а. инвариантным, образует, очевидно, подгруппу пусть теперь — другой элемент из и преобразование группы такое, что множество преобразований, переводящих а в есть оно не зависит от и зависит только от если а задано: можно сказать, что это множество составляет репер элемента

Группа, не являющаяся транзитивной, называется интранзитивной.

Пусть а — элемент множества множество образов элемента а прге преобразованиях группы может быть определено, начиная с любого из своих элементов, так же, как оно было определено, начиная с элемента действует транзитивно на множестве которое называется классом транзитивности множества Предполагается, что не исчерпывает существует, следовательно, элемент , не принадлежащий он определяет класс на котором действует транзитивно. Классы и не имеют общих элементов. Таким образом, можно продолжать расслоение на классы транзитивности.

Реперирование элемента множества происходит так: указывается к какому классу он принадлежит, и указывается его положение внутри своего класса.

Рассмотрим, наконец, две группы преобразований действующих соответственно на множествах предположим, что существует взаимно однозначное соответствие между

и взаимно однозначное соответствие между

такие, что

Мы скажем тогда, что две группы необходимо являющиеся изоморфными, действуют подобно над объектами множеств соответственно или что две группы преобразований подобны. Как группы преобразований, отличаются только названиями их элементов и названиями элементов, на которых они действуют; это становится еще более ясным, если мы условимся рассматривать как два преобразования на на соответственно) и писать

Понятие подобия, очевидно рефлексивное и симметричное, является также транзитивным; следовательно, это — отношение эквивалентности, и оно является основным отношением эквивалентности в теории групп преобразований.