5. Вычисление аффинной дуги и инвариантов. Пространственные кривые третьего порядка.
Из (4.8) следует равенство
откуда мы получаем выражение
позволяющее вычислять 
исходя из любого аналитического представления кривой.
В действительной области, в которой мы по предположению находимся, мы видим, что в общем случае невозможно избавиться от неопределенности знака в формулах (4.8). Однако для каждой отдельной кривой этот знак вполне определен, его нужно выбрать так, чтобы правая часть равенства (5.1) была положительной. Тогда о будет определена с точностью до аддитивной постоянной и с точностью до знака, что соответствует выбору направления обхода на кривой. Мы различаем две категории кривых: правые, которым соответствует знак 
и левые, которым соответствует знак 
Что касается вычисления кривизн, то из формул (4.8) получаем прежде всего, что
далее,
инвариант
иногда называется кручением.
Выражения инвариантов в общем представлении слишком сложны, и мы не будем здесь их приводить. Однако легко видеть, что имеет порядок 5, а 
имеют порядок 6.
Рассмотрим, в частности, кривые, для которых две кривизны обращаются в нуль (их можно также определить, указав, что вектор 
фиксирован). Система (4.8) дает в этом случае
где 
фиксированные векторы, причем
Следовательно, речь идет о пространственных кривых третьего порядка.
Выберем в качестве осей 
оси, которые определены триэдром 
с началом в точке 
Уравнения кривых будут иметь вид
Пространственные кривые третьего порядка разбиваются на два класса, в каждом из которых группа (1.4) действует транзитивно. Каждый из классов может быть представлен одной из пространственных кубических кривых (5.3). Всякая пространственная кривая третьего порядка инвариантна относительно однопараметрической подгруппы группы (1.4), преобразующей ее триэдры Френе один в другой. Мы получаем геометрические определения направлений прямых, образующих триэдр Френе, рассматривая, что происходит для 
Мы видим, что независимо от выбора вектора 
который касается кривой, вектор 
лежит на асимптотическом направлении, конус 
содержит рассматриваемую кривую третьего порядка, плоскость 
касается конуса вдоль образующей 
и одновременно является соприкасающейся плоскостью кривой, а плоскость 
касается конуса вдоль 
Вернемся к общему случаю кривой 
Пусть 
точка, отвечающая, например, значению 
Выбирая в качестве осей оси триэдра Френе в точке 
будем искать первые члены разложений 
по степеням 
. Имеем
что дает
Разрешая первое уравнение относительно а, мы находим
Внося это выражение в следующие уравнения, получаем, что
Эти формулы показывают, что если заданы две кривые 
обе правые или обе левые, и заданы точка 
на 
и точка 
на 
то можно с помощью аффинного унимодулярного преобразования преобразовать кривую 
в кривую 
так, что при этом 
перейдет в 
и кривые 
будут иметь в этой точке касание по крайней мере четвертого порядка. Эти кривые будут тогда иметь общий триэдр Френе.
В частности, триэдр Френе в некоторой точке пространственной кривой есть триэдр кривой третьего порядка, соприкасающейся с данной кривой в этой точке.
Мы можем теперь определить дугу аффинной кривой. Прежде всего точка кривой 
будет называться обыкновенной третьего порядка, если существует ее представление, такое, что 
Других ограничений на дифференциалы более высокого порядка не накладывается. Принимая во внимание то, что было сказано о кривизнах, мы определим аффинную дугу как дугу, состоящую из обыкновенных точек шестого порядка и имеющую непрерывный элемент касания порядка 6. В частности, 
не должно менять знака.
Упражнения
(см. скан)
