5. Гомеоморфизм.

Взаимно однозначное отображение пространства на называется взаимно непрерывным, если оно само и обратное к нему отображение непрерывны.

Чтобы взаимно однозначное отображение на было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы оно было взаимно непрерывным. Действительно, для того чтобы было гомеоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы образ открытого множества и прообраз открытого множества были открытыми множествами, т. е. чтобы были непрерывны.

Понятие гомеоморфизма легко приспособить к относительной топологии: если отображение пространства на ставит во взаимно однозначное соответствие точки подпространства и точки пространства

функции непрерывны в подпространствах соответственно то и гомеоморфно

Гомеоморфизм транзитивен: если гомеоморфно гомеоморфно то гомеоморфно Это очевидно, если заметить, что результат композиции двух взаимно однозначных отображений будет взаимно однозначным отображением, которое, кроме того, непрерывно, если оба исходных отображения непрерывны.

Следовательно, гомеоморфизм есть отношение эквивалентности, - это основное отношение эквивалентности в топологии.

В топологии два гомеоморфных пространства рассматривают как пространства, отличающиеся только названием их элементов, и объект топологии изучение свойств топологических пространств с точностью до гомеоморфизма, т. е. она занимается определениями, свойствами, операциями, уравнениями, числами и т. д., инвариантными относительно гомеоморфизма.

Приведем несколько простых примеров, приняв для этого несколько хорошо известных определений. На обычной эвклидовой плоскости внутренности треугольника, круга и эллипса гомеоморфны. Поверхности куба и сферы гомеоморфны в обычном трехмерном пространстве. Можно доказать, что на плоскости внутренность круга и внутренность кругового кольца не гомеоморфны и что в пространстве поверхность и внутренность сферы не гомеоморфны соответственно поверхности и внутренности тора.

Непрерывное отображение пространства в пространство называется локальным гомеоморфизмом в точке если существует окрестность такая, что отображение окрестности К на ее образ есть гомеоморфизм.

Гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом во всякой точке, но отображение может быть локальным гомеоморфизмом в каждой точке и не быть при этом гомеоморфизмом. Так, если любой точке прямой поставить в соответствие точку окружности, на которой выбраны начало и направление обхода, приняв за ее криволинейную абсциссу абсциссу точки на прямой, мы получим соответствие, которое хотя и будет локальным гомеоморфизмом, но не будет просто гомеоморфизмом. Позднее мы встретимся с другими примерами.

Если начать с топологии — наиболее общей геометрии близости, — то остальные геометрии получаются из нее при частных предположениях одновременно относительно рассматриваемых топологических пространств и относительно рассматриваемых в них непрерывных отображений (или преобразований); последние всегда будут локальными гомеоморфизмами всюду, за исключением некоторых множеств точек. Эти точки либо оставляют в стороне — потому, что они не представляют интереса, или потому, что принятые гипотезы слишком широки, чтобы позволить их изучение, — и тогда получается локальная геометрия (например, прямая инфинитезимальная геометрия, см. часть I); либо же эти точки изучают отдельно как наиболее важные элементы: например, точки ветвления в теории римановых поверхностей или особые точки кремоновых преобразований в алгебраической геометрии

При этом на пространства, которые мы будем рассматривать, будет наложено и другого рода ограничение: кроме определенной топологической структуры, они будут снабжены некоторой другой структурой, алгебраической или аналитической, и преобразования, которые нам предстоит рассматривать, должны будут сохранять эту структуру, по крайней мере локально.

Разбору всех этих условий будет посвящена остальная часть этой главы, однако уже сейчас мы отметим в качестве примера, что элементарная метрическая геометрия обычной эвклидовой плоскости определяет на ней структуру, инвариантную относительно перемещений и симметрии. Эта структура алгебраическая, и если к ней присоединить обычную топологическую структуру (см. § 9), то перемещения и симметрии окажутся гомеоморфизмами. Изучение свойств линий, инвариантных относительно этих преобразований, составляет часть элементарной дифференциальной геометрии плоскости. Расстояние между двумя точками, угол между двумя направлениями, площадь треугольника являются понятиями элементарной геометрии на плоскости. Касательная к кривой, длина дуги окружности или кривой — понятия элементарной дифференциальной геометрии. В обычном пространстве определение объема многогранника базируется на принципе Кавальери, в основе которого лежит, по существу, топологический принцип. Впрочем, всякий раз, когда в элементарной геометрии обращаются к аксиоме непрерывности, тем самым постулируют топологическую структуру плоскости или пространства.