3. Кривизна пространства в направлении площадки. Пространства постоянной кривизны

Пусть римановы координаты в Два неколлинеарных вектора определяют направление площадки, и поверхность

(где и — переменные) описывается геодезическими, касательные к которым принадлежат плоскости, определенной этими двумя векторами. Что касается основной формы этой поверхности, то мы имеем

причем

Греческие индексы принимают здесь значения 1 или 2; элементы, относящиеся к указанной поверхности, обозначены штрихами. Имеем в точке

Далее, из (1.90 и (2.5) следует, что

Отсюда получаем формулу (1.12) для гауссовой кривизны в точке поверхности, описанной геодезическими, касательные к которым лежат в плоскости, определенной векторами и (геодезической поверхности); эту кривизну называют со времен Римана кривизной пространства в направлении рассматриваемой площадки

Когда плоскость изменяется, эта формула показывает нам, каким образом изменяется кривизна соответствующей геодезической поверхности. Для того чтобы эта кривизна была постоянной, необходимо и достаточно (см. упражнение 3), чтобы существовала константа К, такая, что в точке

в этом случае говорят, что пространство постоянной кривизны в точке

Рассмотрим пространство, имеющее постоянную кривизну в каждой точке. Ковариантным дифференцированием из (3.2) получаем, что

(начиная отсюда, греческие индексы будут меняться от 1 до как и латинские индексы). Уравнение Бианки (1.14) запишется в виде

Умножая на и свертывая, получаем (с точностью до множителя )

Эта система влечет за собой равенства каково бы ни было так как в противном случае два столбца определителя были бы пропорциональны и этот определитель был бы равен нулю вопреки предположению. К есть, таким образом, константа, и мы имеем следующую теорему, принадлежащую Шуру:

Если риманово пространство имеет постоянную кривизну в каждой точке, то эта кривизна не меняется при изменении точки.

Такое пространство называется римановым пространством постоянной кривизны.

Мы покажем, что два таких пространства одной размерности, имеющие одну и ту же кривизну К и квадратичные формы с одинаковыми сигнатурами, эквивалентны (или изометричны).

Два пространства, определенные формами

с переменными и соответственно, локально, изометричны в окрестностях точек если можно выразить через так, что

(греческие индексы, как и латинские, изменяются от 1 до ). Полагая видим без труда, что эти равенства должны повлечь за собой следующие равенства, которые, впрочем, являются условиями интегрируемости системы (3.3)

Условия интегрируемости этой последней системы имеют вид

эти равенства выражают тензорные свойства тензора кривизны и сводятся к равенствам

Но если два пространства удовлетворяют условию (3.2) с одним и тем же значением то (3.5) будет тождеством, если уравнения (3.3) удовлетворяются. Рассмотрим теперь систему уравнений» полученную из формул (3.3) и (3.4),

Она вполне интегрируема, так как условия интегрируемости уравнений первой строки можно записать, используя вторую, в виде

Но, в силу симметрии символа по и I (или в силу того, что мы рассматриваем пространство без кручения), имеем

Что касается условий, относящихся к уравнениям второй и третьей строк, то они также будут удовлетворяться. Так как мы имеем неизвестных, связанных конечными соотношениями, то общий интеграл системы (3.6) зависит от произвольных постоянных. Рассмотрим вопрос о действительности решений. Допустим, что две основные формы аналитичны и имеют одинаковую сигнатуру в окрестности Тогда уравнения

относительно имеют множество действительных решений, зависящих от действительных произвольных постоянных. Если мы возьмем в качестве значения решений этих уравнений, то система (3.6) даст для разложения в действительные ряды по степеням сходящиеся в некоторой окрестности значений Так как при интегрировании уравнений первой строки (3.6) вносится аддитивных постоянных, мы видим, что общий интеграл системы (3.6) зависит от

действительных произвольных постоянных.

Наконец, чтобы система (3.6) была вполне интегрируема, нужно, чтобы (3.50 было следствием уравнений третьей строки системы (3.6). Мы должны, таким образом, иметь в силу симметрии

где — инварианты. Меняя местами и вычитая почленно получающееся уравнение из написанного, имеем в силу (1.10)

т. е. пространство должно иметь постоянную кривизну.

Из проведенных рассмотрений можно вывести ряд интересных результатов.

Рассмотрим систему (3.6), записанную для общего случая двух произвольных пространств. Она, вообще говоря, не имеет никакого интеграла; но если она допускает некоторые интегралы, то они зависят самое большее от постоянных, и в этом последнем случае речь идет о двух пространствах постоянной кривизны, основные формы которых имеют одинаковую сигнатуру. Говорят, и мы

вернемся к этому позднее, что пространство допускает группу перемещений, если уравнения (3.6), где

имеют решения, зависящие от параметров. Полученные выше результаты могут быть выражены следующим образом: если риманово пространство допускает группу перемещений, то она зависит не более чем от параметров, причем этот максимум достигается только в случае пространств постоянной кривизны.

Вот другое важное свойство пространств постоянной кривизны: риманово пространство, геодезически наложимое на пространство (или на проективно плоское пространство), есть пространство, геодезически наложимое на эвклидово пространство с основной формой

и, как мы видели для того, чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы

Если воспользоваться выражением этого тензора и принять во внимание, что и что тензор симметричен, то это условие можно записать в виде

или

Для компоненты тензора равны нулю; в этом случае написанное равенство показывает, что

где К обозначает инвариант. Подставляя эти выражения в (3.7), мы приходим к формуле (3.2) для таким образом, пространство должно быть пространством постоянной кривизны.

Обратно, если пространство имеет постоянную кривизну, то из (3.2) мы находим свертыванием, что

и равенство (3.7) действительно удовлетворяется.