10. Геодезическая кривизна.

Вдоль кривой С, определенной на поверхности считая функциями параметра мы определили геодезический инвариант исходя из криволинейной абсциссы, т. е. при определенном направлении обхода кривой; если изменить это направление, то следовательно, заменятся противоположными векторами, поэтому 6 перейдет в изменит знак.

Следовательно, можно определить направление вогнутости в точке кривой, не являющейся геодезической; это будет направление геодезической нормали для которой соответствующее значение положительно).

Выбирая теперь положительное направление обхода на линии С, мы подсчитаем предполагая, что -функции параметра, имеющие непрерывные вторые производные.

Заметим прежде всего, что в силу (9.1)

Рассматривая теперь триэдр первого порядка (I, 1.1, где ), получаем

отсюда вытекает, что, если и означают теперь обыкновенные дифференциалы, то

откуда

или, наконец,

из этого выражения виден геодезический характер кривизны после того, что было сказано относительно формы (§ 4). Уравнение геодезических получается, следовательно, если приравнять нулю правую часть равенства (10.1).

Используя уже сделанный в § 4 подсчет, легко получаем выражение если линейный элемент задан в одной из специальных форм: в изотермических координатах получаем

в минимальных координатах получаем

если задан в форме имеем

В качестве введения в теорию римановых пространств мы проведем теперь рассуждение, исходя из переменных и линейного элемента общего вида (который уже не представлен предварительно в виде суммы двух квадратов).

Будем искать сначала ковариантные компоненты проекции вектора на касательную плоскость:

Положим и обозначим

эти выражения называются скобками, или символами, Кристоффеля первого рода, они симметричны относительно индексов

Умножая скалярно на векторы мы видим, что ковариантные компоненты проекции дифференциала на касательную плоскость будут соответственно равны

Необходимо сначала подсчитать скобки Кристоффеля, исходя из коэффициентов линейного элемента имеем

отсюда получается следующая таблица из шести символов первого рода:

Чтобы перейти к контравариантным компонентам проекции дифференциала на касательную плоскость, введем скобки, или символы, Кристоффгля второго рода, определяемые формулами

Если рассматривать как ковариантные компоненты вектора, то будут для него контравариантными компонентами; как квадратные, так и фигурные скобки симметричны относительно индексов

В силу формул (8.2) и найденных выражений, проекция вектора на касательную плоскость имеет в качестве контравариантных

компонент выражения

Даяее, поскольку вектор контравариантные компоненты и вектор который получается из него поворотом на угол имеет ковариантные компоненты

С другой стороны,

отсюда следует в силу (8.3)

или, если обозначить штрихами производные по параметру

Уравнение геодезических получается, если записать, что если искать, например, как функцию от и, то достаточно приравнять к нулю квадратные скобки в формуле (10.5), полагая там

Если принять за параметр, то тождество дает сначала т. е. показывает, что компонента вектора в касательной плоскости нормальна к кривой. Поскольку ковариантными компонентами вектора будут имеем, принимая во внимание формулы, которые дают контравариантные компоненты проекции вектора на касательную плоскость, тождество,

справедливое вдоль произвольной кривой.

Тот факт, что вдоль геодезической, показывает, что вектор ортогонален к проекции вектора на касательную плоскость; поскольку эта проекция уже перпендикулярна к вектору юна равна нулю, и мы имеем уравнения геодезических в виде

где

Приложения: 1°. Геодезические и кратчайшее расстояние на поверхности. Как показывает уравнение (10.1) необходимым и достаточным условием того, чтобы семейство кривых было образовано геодезическими, является равенство из соотношения получаем Следовательно, можно положить [см. (0.III. упр. 1)]; представляя теперь в виде получаем

Таким образом, как мы обещали (§ 4), можно всегда представить линейный элемент поверхности в виде (10.7); координатные линии будут образованы однопараметрическим семейством геодезических и их ортогональными траекториями. Мы видим теперь, что переменное и представляет собой криволинейную абсциссу на каждой геодезической семейства две линии высекают, следовательно, на этих геодезических дуги равной длины; говорят, что кривые параллельны на поверхности.

В окрестности обыкновенной точки поверхности где допускают непрерывные частные производные достаточно высокого порядка, приведенные ниже рассуждения приложимы в достаточно малой области, так как для этого достаточно, чтобы рассматриваемые геодезические не имели в ней ни особой точки, ни огибающей. В этой области для длины дуги кривой С, определяемой, например, заданием как функции от и, соединяющей точки и при и постоянном

имеем

так как . Геодезическая, следовательно, реализует кратчайшее расстояние между этими двумя точками, так как знак равенства может иметь место только для т. е. для следовательно, для геодезической.

В частности, если рассматриваемые геодезические выходят одной и той же точки тогда, если только точка будет достаточно близка к точке геодезическая, соединяющая точку с точкой реализует кратчайшее расстояние между этими двумя точками.

2° Выражение для дифференциала Для этого дифференциала имеем сначала в силу (10.3)

откуда в силу (10.4)

и, наконец,

3° Формула полной кривизны. Напишем линейный элемент в виде

И положим

Имеем

откуда

В силу (10.3) и (10.4) получаем

Тогда из уравнения

вытекает, что

Меняя местами буквы и индексы 1 и 2, имеем также

Образуя полусумму этих выражений, получим симметрическое выражение для полной кривизны