5. Триэдр Френе для кривой, проведенной на поверхности. Теоремы Менье и Оссиана Бонне.

К каждой точке линии проведенной на поверхности присоединим правый триортогональный триэдр с вершиной в точке определяемый направлениями мы будем называть его триэдром Френе, присоединенным к линии на поверхности

При изучении свойств линий на поверхности этот триэдр приносит ту же пользу, что и триэдр Серре — Френе при изучении пространственных кривых.

Мы будем рассматривать, так же как делали раньше, частные производные единичных векторов, которые несут оси этого триэдра.

Пусть триэдр Серре — Френе линии в точке обозначим через угол вектора с главной нормалью; имеем

В силу формул Серре — Френе (I, 2.3) находим

В этих формулах, кроме геодезической кривизны которую мы изучали в предыдущей главе, мы встречаемся с двумя новыми величинами: называемой нормальной кривизной, и которую мы будем называть относительным кручением.

В этих обозначениях полученные формулы запишутся так:

Непосредственно получается следующее замечание: вектор зависит только от направления касательной к линии так как можно записать

то и правая часть в точке зависит только от отношения Поскольку триэдр Френе, присоединенный к линии проведенной на поверхности определяется касательной к линии последняя из формул (5.1) показывает нам, величины (нормальная кривизна) и (относительное кручение) будут одни и те же для двух касающихся кривых: в этом состоят два результата, из которых один принадлежит Менье, а другой — Оссиану Бонне и которые мы последовательно рассмотрим.

Прежде всего, рассматривая триэдр первого порядка, присоединенный к точке поверхности будем искать выражения из формул

получаем

откуда

и, следовательно,