ПЕРВАЯ ЧАСТЬ. ПРЯМАЯ ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава I. ВЛОЖЕННЫЕ МНОГООБРАЗИЯ. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ
1. Проблема параметризации. Общие соображения.
Чтобы использовать дифференциальное исчисление, мы ограничили множество канторовых многообразий многообразиями 
каждая точка которых имеет окрестность, гомеоморфную шару 
пространства 
и которые являются дифференцируемыми до некоторого порядка 
, называемого классом многообразия (говорят: многообразие класса 
).
На таком многообразии возникает только одна задача параметризации — задача в целом: разыскание максимума числа 
или определение, будет ли это многообразие аналитическим или нет. Эта проблема не решена.
Предполагая заданным многообразие 
класса 
не имеющее другой структуры, мы можем строить на нем только прямую дифференциальную геометрию, порождаемую локальной группой 
, где 
Впрочем, поскольку мы будем заниматься только локальными задачами, мы можем выбрать 
произвольно (даже взять группу 
, так как шар 
измерений является аналитическим множеством). Мы можем даже взять пространство 
вместо 
Если многообразие 
снабжено структурой группы Ли 
то никакой проблемы параметризации в общем случае не возникает. Показать это можно только с помощью допустимой (адекватной) системы координат. Но даже если система координат не является допустимой, то отыскание такой системы не представит серьезных трудностей.
Напротив, если присоединить к 
структуру, определяемую одной или несколькими инвариантными дифференциальными формами (обыкновенными или внешними), то возникает проблема локальной параметризации: найти систему локальных координат так, чтобы коэффициенты дифференциальных форм структуры имели возможно
более высокий порядок дифференцируемости [или стали аналитическими; мы вернемся позднее к вычислению этих локальных инвариантов (часть III)].
