7. Поверхности, инвариантные относительно транзитивной группы.

В силу общей теоремы (0, III, 9) отыскание поверхностей, инвариантных относительно некоторой транзитивной группы аффинных: унимодулярных преобразований, сводится к отысканию поверхностей с постоянными инвариантами: ее преобразованиями в себя будут тогда такие преобразования, которые переводят один в другой ее реперы Френе.

Мы не будем заниматься развертывающимися поверхностями; в этом случае соответствующие поверхности представляют собой цилиндры, и по существу речь идет об определении плоских кривых, инвариантных относительно однопараметрической подгруппы общей аффинной группы, — задаче, которая легко решается при помощи формул (I, 4.6).

Если отвлечься от случая поверхностей второго порядка, для которых группа зависит от трех параметров, то эта группа будет зависеть только от двух параметров, так какрепер Френе определен в каждой точке (более точно, имеется только конечное число реперов Френе, и группа может состоять из нескольких связных компонент, но мы рассмотрим только одну из них).

1° Изучим прежде всего эллиптический случай. Вернемся к уравнениям где константы. Два последних уравнения запишутся в виде

Они дают

а. Рассмотрим сначала случай, когда имеем, следовательно,

откуда

Мы получаем

Последнее соотношение непосредственно интегрируется и показывает, что аффинные нормали проходят через фиксированную точку которую мы выберем в качестве начала, записав Из других соотношений выводим

Второе из этих уравнений непосредственно интегрируется и дает

Подставляя этот результат в другие уравнения, получаем, что

где — постоянные векторы. Выражая тот факт, что

получаем условие

Выбирая затем в качестве осей оси, определяемые векторами мы получаем уравнение поверхности в виде

если же взять в качестве единичных векторов осей векторы которые образуют единичный триэдр, то уравнение этой поверхности будет иметь вид

Аффинные унимодулярные преобразования этой поверхности в себя определяются формулами

Перейдем к случаю, когда

Первое решение уравнений есть

и мы имеем

Следовательно, можно положить и мы получим

где зависят только от и. Но

откуда

Далее находим, что

и, наконец, с точностью до параллельного переноса

где — постоянные векторы, удовлетворяющие условию

Разделяя члены по в выражении для мы видим, что это поверхность переноса. Выбрав в качестве осей мы получим ее уравнение в виде

Это же уравнение можно вывести с помощью аффинитета из уравнения поверхности

для которой аффинные унимодулярные преобразования в себя определяются формулами

Уравнения дают также другое решение:

( вычисляются затем без труда). Но легко видеть, что если мы возьмем вместо другой репер Френе, определенный векторами

то перейдут в

Принимая мы приходим к тому, что

Мы пришли к прежним значениям; следовательно, это решение не дает нам новой поверхности

2° В гиперболическом случае уравнения дают

а. Равенства влекут за собой равенства Можно положить и мы будем иметь

Последнее уравнение показывает, что аффинная нормаль проходит через фиксированную точку, которую мы выберем в качестве начала, Внося это в предыдущие формулы, мы получаем систему

Отсюда выводим

Теперь интегрирование проводится без труда. Мы находим, что

где

Беря в качестве единичного триэдра триэдр, определяемый векторами мы получаем уравнение поверхности в виде

Она получается из поверхности

с помощью аффинитета, и легко найти ее аффинные унимодулярные преобразования в себя.

b. Если мы находим, что

Мы видим без труда что можно написать

Полагая затем

получаем из уравнений

Отсюда находим, что

откуда

и, наконец, с точностью до параллельного переноса

где — фиксированные векторы, такие, что

Если взять в качестве единичного триэдра то уравнением поверхности будет уравнение

его можно привести к виду

Последнее получается аффинитетом из уравнения

Это поверхность переноса. Легко образовать ее аффинные унимодулярные преобразования в себя.

3° Перейдем, наконец, к случаю линейчатых поверхнэстей. Уравнения (2.2) дают

Можно положить и уравнения (2.3), соответствующие этим значениям, легко интегрируются; при получаем параболоиды. При эти уравнения запишутся в виде

что дает с точностью до параллельного переноса

где — фиксированные векторы . В системе координат, определенных этими векторами, уравнение поверхности имеет вид

Она известна под названием поверхности Кэли. Она сохраняется при группе преобразований