3. Контингенция. Паратингенция.

Поскольку многообразие прежде всего есть точечное множество, мы должны попытаться дать характеристическое свойство, связанное с точкой множества, позволяющее узнать, будет ли окрестность точки в этом множестве гомеоморфной элементу многообразия на котором будет обыкновенной точкой (по крайней мере порядка 1).

Чтобы ответить на этот вопрос, определим сначала, что называется контингенцией и паратингенцией бесконечного множества точек в одной из его предельных точек

Пусть окрестность этой точки в (или в окрестности многообразия гомеоморфной шару). Рассмотрим множество направлений получаемых соединением точки с точками множества содержащимися в мы будем обозначать через замыкание этого множества направлений, которое будет компактным множеством направлений. Ясно, что если то и замыкание Множество общих элементов всех составляет то, что называется контингенцией множества в точке Это множество непусто, так как, поскольку есть предельная точка, оно содержит все направления, предельные к последовательности направлений где обозначает последовательность точек из стремящихся к

Рассмотрим теперь замыкание множества прямых, соединяющих попарно точки из принадлежащие Мы имеем также когда компактно, если ограничено. Общая часть всех называется паратингенцией множества в точке Она состоит из прямых, проходящих через тогда как контингенция состоит из полупрямых, выходящих из

Паратингенция содержит, очевидно, все прямые, являющиеся носителями полупрямых контингенции, но может быть и более обширной. Так, в случае плоской кривой, изображенной на рис. 11, контингенция состоит из двух направлений тогда как паратингенция содержит прямые, проходящие в углах .

Понятие контингенции не играет важной роли в дифференциальной геометрии. Мы его изложили только для того, чтобы избежать смешения с понятием паратингенции. Оба эти понятия принадлежат Булигану.

Вернемся к многообразию (2.1) и рассмотрим две точки близкие к Применяя теорему о конечном приращении, мы видим, что прямая, их соединяющая, имеет уравнения

где переменное, а стремятся к нулю вместе с Она заключена в линейном многообразии

Устремляя мы получаем отсюда, что паратингенция содержится в многообразии

Рис. 11.

Обратно, все прямые многообразия (3.1), проходящие через принадлежат паратингенции. Действительно» такая прямая определяется, если положить где заданные числа, не все равные нулю. Чтобы получить желаемый результат, достаточно взять и тстремящиеся к при равных отношениях

Итак, в точке паратингенция состоит из всех прямых, проходящих через и содержащихся в многообразии (3.1). Предположение, сделанное относительно частных производных, показывает, кроме того, что эта паратингенция непрерывно изменяется в окрестности точки Обращение этих утверждений составляет локальную геометрическую характеристику многообразий, которые нас интересуют; точнее:

Пусть размерностно-однородный континуум размерности Если во всей окрестности тонки он допускает в каждой точке паратингенцию, представляющую собой

линейное многообразие измерений, то в этой окрестности Существует точка некоторая окрестность которой в есть элемент многообразия измерений, точки которого обыкновенные, порядка

Всегда можно допустить, что точка совпадает с началом координат и что паратингенцией к в этой точке является многообразие

Далее, можно найти окрестность точки такую, что всякое многообразие

имеет самое большее одну общую точку при условии, что достаточно малы по модулю, так как в противном случае паратингенция в содержала бы прямую многообразия что противоречит допущению. может тогда быть представлена уравнениями вида

где функция непрерывна на проекции окрестности на многообразие (3.2), если эта окрестность достаточно мала, так как в противном случае существовали бы точки в которых паратингенция содержала бы прямые многообразия

Формулы (3.3) определяют, таким образом, взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие т. е. гомеоморфизм. Так как имеет размерность то же самое имеет место для гомеоморфной ей . В силу одного из результатов теории размерности, так как многообразие (3.2) имеет размерность отсюда следует, что имеет внутренние точки Заметим теперь вместе с Г. Булиганом, что паратингенция обладает полунепрерывностью сверху относительно включения, т. е. всякая прямая, предельная для прямых, принадлежащих паратингенции в точках последовательности стремящихся к принадлежит к паратингенции в

Предположение о том, что паратингенция в каждой точке некоторой окрестности точки многообразия представляет собой линейное многообразие измерений, влечет непрерывность этого многообразия. Мы можем потребовать, чтобы окрестность была такова, что многообразие паратингенции в точке было бы вида

где текущие координаты на этом многообразии, — непрерывные функции.

Установив это, рассмотрим точку лежащую внутри

Пусть — окрестность этой точки в (3.2), являющаяся проекцией окрестности точки многообразия Пусть точка из она является проекцией точки из Далее, пусть (3.4) — многообразие паратингенции в этой точке. Соединим прямой точку с точкой из проекция которой принадлежит Уравнениями этой прямой будут

Когда стремится к нулю, эти прямые должны иметь предельные элементы в многообразии (3.4). Мы утверждаем, что для того, чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы

где стремится к нулю вместе с 2

Это условие, очевидно являющееся достаточным, так же и необходимо, так как если бы оно не было выполнено, можно было бы найти последовательность приращений таких, что

имеет предел, конечный или бесконечный, но положительный по крайней мере для одного значения отсюда мы немедленно заключили бы, что существует прямая, принадлежащая паратингенции,

для которой

по крайней мере для одного значения что противоречит предположению.

Но (3.5) выражает просто, что функции дифференцируемы в точке и что

Мы видели, что являются, кроме того, непрерывными функциями. Целая окрестность точки состоит, таким образом, из обыкновенных точек порядка Более того, представление (3.3) допустимо для обыкновенных точек порядка поэтому изучение дифференциальных свойств функций позволит узнать порядок тривиальности точек в окрестности точки

Замечания и частные случаи. пространстве дана кривая

имеющая и обыкновенной точкой. Предположим параметризацию допустимой, что означает

уравнения паратингенции (касательной), обозначив через текущие координаты, можно записать в форме

или, если обозначает текущую точку, в векторной форме

Мы будем также рассматривать кривые, допускающие изолированные точки, не являющиеся обыкновенными порядка 1 (особые точки), причем мы ограничимся случаем, когда окрестность такой точки имеет представление вида

где особая точка, вектор, отличный от нуля, и вектор, стремящийся к нулю вместе с Контингенция содержит направление вектора и только его, если четно, так как положительно и в этом случае имеет направление Точка есть точка возврата на нашей кривой, она не может быть поэтому обыкновенной точкой (рис. 12). Говорят, что кривая имеет в полукасательную.

Если нечетно, контингенция содержит направления Можно сказать, что существует касательная в если обобщить данное определение, но нельзя отсюда заключить, что обыкновенная точка, даже в том случае, когда все точки целой окрестности точки отличные от будут обыкновенными (упражнение 2).

Можно легко написать уравнения касательной, или носителя полукасательной, когда имеет в окрестности точки производные до порядка включительно, не все равные нулю. 2° Рассмотрим поверхность

имеющую в обыкновенную точку порядка тогда допустимость параметризации выражается в том, что векторы и не обращаются в нуль и не коллинеарны, что записывается в виде

Касательная плоскость имеет уравнение

или

Рис. 12.

В частности, если поверхность представляется уравнением

где имеет непрерывные частные производные в точке то уравнение касательной плоскости имеет вид

В случае, когда поверхность определена уравнением

точка (х, у, z) будет обыкновенной, если непрерывны в окрестности этой точки и не равны нулю одновременно:

Дифференцируя уравнение мы получаем уравнение касательной плоскости

3° Пусть V — многообразие, погруженное в которое в свою очередь погружено в определенное уравнениями

Допустим, что точка из V является обыкновенной порядка и что совпадающая с ней точка из является обыкновенной по крайней мере до того же порядка, причем параметры допустимы. Тогда рассматриваемая точка на погруженном в будет также обыкновенной порядка и представление (2.1)

будет допустимым: это непосредственное следствие результатов, относящихся к замене переменных.

В частности, паратингенция V содержится в паратингенции Паратингенция в обыкновенной точке многообразия V, являющегося пересечением многообразий на которых эта точка также является обыкновенной, содержится в пересечении паратингенций и Например, в силу теории неявных функций, два уравнения

определяют в кривую, имеющую обыкновенную точку (х, у, z) , если обладают непрерывными первыми частными производными в окрестности этой точки и если, кроме того,

Тогда точка будет обыкновенной и на каждой из поверхностей

Касательная к этой кривой имеет уравнения