14. Точечные преобразования, сохраняющие линии кривизны.

Такое преобразование должно переводить сферу или плоскость (рассматриваемую как сфера бесконечного радиуса) в сферу или в плоскость, поскольку это единственные поверхности, линии кривизны которых зависят от произвольной функции.

С другой стороны, направления двух главных касательных и направление нормали к поверхности в пространстве проходящей через точку образуют триортогональный триэдр, в остальном произвольный. Они преобразуются в соответствующие направления поверхности которая служит образом поверхности в точке образе точки в пространстве т. е. в триортогональный триэдр.

Всякое направление в касательной плоскости к поверхности преобразуется в некоторое направление, лежащее в касательной плоскости к поверхности значит, ортогональное нормали к поверхности Следовательно, можно сказать, что наше преобразование переводит ортогональные направления, присоединенные к некоторой точке, в ортогональные направления, т. е. что соотношение имеет следствием Конусу изотропных прямых пространства проходящих через точку соответствует, следовательно, конус изотропных прямых, проходящих через точку в пространстве

Напишем теперь, принимая в прямоугольные координаты

Мы видим, что эти две квадратичные дифференциальные формы должны быть пропорциональны для того, чтобы уравнения представляли один и тот же конус. Имеем, следовательно,

где — функция переменных х, у, z. Отсюда вытекает, что вообще

т. е. углы сохраняются, следовательно, преобразование конформно.

Обратно, всякое конформное преобразование сохраняет линии кривизны, так как оно, очевидно, преобразует триортогональную систему в триортогональную. Значит, оно будет переводить триортогональную систему, образованную поверхностью параллельными ей поверхностями и двумя семействами развертывающихся поверхностей конгруэнции нормалей, в триортогональную систему. Образы линий кривизны поверхности будут, следовательно, линиями пересечения поверхности образа поверхности с образами двух семейств развертывающихся поверхностей, которые будут пересекать поверхность под прямым углом; в силу теоремы Дюпена это будут линии кривизны поверхности . В частности, такое преобразование переводит всякую сферу в сферу.

Рассмотрим теперь триортогональный координатный триэдр, пусть будет его вершиной; рассмотрим также три семейства сфер, соответственно касающихся в точке трех координатных плоскостей. Эта триортогональная система, которая конформным преобразованием С переводится в триортогональную систему сфер, проходящих через точку и касающихся в этой точке трех взаимно ортогональных плоскостей, которые мы примем за координатные плоскости в пространстве Произведем теперь в пространстве инверсию с центром в точке а в пространстве инверсию с центром в точке эти две триортогональные системы преобразуются в системы плоскостей, параллельных осям координат. Поскольку инверсия сохраняет углы, новое соответствие между и будет также конформным. Если допустить (это всегда можно сделать), что соответствие устанавливается между одноименными координатами, то оно запишется так:

и мы должны иметь

значит, будут постоянными с одной и той же абсолютной величиной. Наше преобразование, следовательно, будет подобием между двумя

пространствами; таким образом,

откуда

Итак, всякое точечное преобразование, которое сохраняет линии кривизны, представляет собой произведение инверсий и подобий; обратно, всякое произведение инверсий и подобий сохраняет углы, так как их сохраняет каждое преобразование — множитель; значит, оно является преобразованием, сохраняющим линии кривизны (Лиувилль).