13. Разложимые пространства.

Мы исследуем теперь, при каких условиях после подходящего выбора базиса формы связности имеют следующий вид:

тогда как формы выражаются при помощи форм которые, кроме того, образуют вполне интегрируемую систему; при этом зависят только от переменных, от которых зависят формы . В этом случае говорят, что пространство есть произведение пространства размерности

на прямую

Рассмотрим следствия из наших предположений. Формулы (13.1) дают равенства затем предположение относительно записывается в виде ; наконец, тот факт, что система вполне интегрируема, эквивалентен равенствам а тот факт, что есть полный дифференциал, дает равенства

Из (7.2) и (7.3) мы имеем тогда

Что касается координат векторов то мы имеем Полагая имеем для функции равенства

откуда и равенства (13.2), преобразованные в инвариантные тензорные равенства, принимают вид

Итак, поля и стационарны.

Предположим теперь, что мы нашли контравариантное поле и поле градиента оба стационарные и такие, что

Пусть независимых решений уравнения

Положим и сделаем замену базиса

Если определены так, что выполнены соотношения

то мы имеем, в частности, уравнения связности принимают вид

Ковариантным дифференцированием из (13.4) получаем, поскольку

и так как стационарное поле, то также наконец,

Выясним теперь условия, при которых формы образуют вполне интегрируемую систему. Мы находим, что

и нужно выразить, что это дает равенства

так как ковариантным дифференцированием из (13.6) получаем

Отсюда, умножая на получаем, что

Но из (13.6) следует, что

откуда

Наконец, умножая на имеем

Так как все должны быть равны нулю, то мы должны иметь также равенство вытекающее из (13.8), поскольку Эта можно записать в виде

Умножением на (полагая далее ) получаем

Выразим, наконец, Находим

Мы проверяем снова, что остается написать что дает

Умножая на и полагая мы выводим отсюда, что

Отсюда следует, что равенства (13.9) разбиваются на предыдущие и на равенства

Наконец мы должны выразить тот факт, что условия не зависят от т. е. что Но возвращаясь к выражениям и используя все написанные условия, мы видим, что эти условия эквивалентны условиям что дает

Умножая на у полагая далее и меняя обозначения, получаем, что

Мы имеем, таким образом, необходимые и достаточные условия для того, чтобы пространство могло быть разложено указанным образом.

Приведем теперь некоторые соображения относительно условий, при которых возможно представление пространства (3.1) в виде произведения двух пространств размерностей Эта проблема состоит в том, чтобы узнать, можно ли выбрать новую систему координат и новый базис (1) таким образом, чтобы матрица представлялась в виде

Уравнения с одной стороны, и с другой стороны, образуют вполне интегрируемые системы, поэтому возможна такая замена базиса, что будут зависеть, например, только от переменных только от других переменных . Наконец, должны выражаться только через и их дифференциалы, а должны выражаться только с помощью других переменных и их дифференциалов.

Задавая число и базис в форме (13.5), следует прежде всего записать, что линейное многообразие, определенное с помощью векторов инвариантно при параллельном переносе и при перемещении вдоль малого цикла, затем нужно выразить те же условия для многообразия, определенного с помощью векторов Мы запишем далее, что новая матрица связности имеет форму (13.10), преобразуя условия, относящиеся к в равенства, относящиеся к Наконец, мы преобразуем условия, относящиеся к в равенства для Среди так получающихся соотношений некоторые могут быть заменены равенствами, в которые входят компоненты тензоров кривизны и кручения. Если полученные таким образом уравнения совместны, что можно проверить с помощью конечного числа операций, то пространство разлагается в произведение пространств размерности и пространства размерности если же уравнения не совместны, то оно не разлагается.

Повторяя эту операцию для всех значений можно в конце кондов решить, является ли пространство разложимым или нет.

Эти рассмотрения не исчерпывают, однако, проблемы. Можно было бы изучить вопрос о том, существует ли единственное (с точностью до порядка) разложение пространства в произведение неразложимых пространств.

Разложение пространств интересно, в частности, тем, что теория многообразий, погруженных в одно из перемножаемых пространств, проводится так же, как если бы многообразие было просто погружено в это пространство.