2. Вложенные многообразия. Основной локальный инвариант. Обыкновенные точки.

При изучении многообразий, погруженных в некоторое пространство, немедленно возникает задача параметризации: чтобы быть допустимым в дифференциальной геометрии, многообразие погруженное в должно иметь, как мы видели (0, III, 9, примечание 1), элемент касания определенного порядка в каждой точке, кроме, быть может, некоторого множества точек, существование которых не мешает изучению всего многообразия, когда такое изучение предпринято; структура этого (исключительного) множества должна в каждом случае уточняться..

Мы говорили, что многообразие имеет в точке с координатами элемент касания порядка если окрестность точки на многообразии допускает параметрическое представление вида

где точка соответствует значениям и параметров, функции имеют непрерывные частные производные до порядка во всякой окрестности точки и в пространстве и, кроме того, матрица

имеет ранг Точка из называется тогда обыкновенной порядка крайней мере). Она будет в точности точкой порядка если она не будет обыкновенной точкой порядка В прямой геометрии не может быть другого различия. Как мы уже видели , это понятие инвариантно при преобразованиях группы

где функции имеют непрерывные частные производные до порядка и

Если точка многообразия задана, то задачей, которая здесь возникает, будет задача определения порядка тривиальности (гладкости) это — основной локальный инвариант в дифференциальной геометрии.

Так как матрица (2.2) имеет ранг то по крайней мере один определитель порядка этой матрицы отличен от нуля, например

Поскольку функции непрерывны, этот определитель будет отличен от нуля в целой окрестности точки . В силу одной из теорем теории неявных функций существует окрестность этой точки, где соответствие между и взаимно однозначно, и можно тогда выразить в виде функции от причем эти функции будут иметь непрерывные частные производные до порядка если это имеет место для выражений через .

Многообразие будет тогда определено уравнениями вида

где функции будут иметь непрерывные частные производные по крайней мере до порядка включительно, и максимум этого порядка и будет порядком тривиальности точки. Итак:

Порядок тривиальности некоторой точки многообразия погруженного в может быть обнаружен, если взять за параметры в окрестности этой точки подходящим образом выбранных координат параметризация будет тогда допустимой (адекватной) в некоторой окрестности этой точки.

В частности, множество точек порядок тривиальности которых открыто на

Примеры. В плоскости на кривой

все точки — обыкновенные бесконечного порядка, кроме начала координат. На прямой параметризованной уравнениями

все точки обыкновенные, хотя при данном представлении может казаться, что это не имеет места для начала координат. На кривой

все точки обыкновенные, порядка 1.