17. Проективные тензоры.
Вернемся к преобразованию (16.3). Оно имеет матрицу
Это частного вида преобразование центро-аффинного пространства 
с базисом 
где 
векторы, которые мы свяжем с репером 
Легко видеть, что множество этих преобразований образует группу (подгруппу центро-аффинной группы размерности 
). Введем в пространстве векторов 
структуру посредством преобразований этой группы и рассмотрим соответствующие преобразования в дуальном пространстве 
Тот факт, что матрица 
определяет наиболее общую замену базиса в пространстве векторов 
заставляет нас различать, как выше, греческие и латинские индексы (от 
до 
и от 1 до 
). Можно развить теорию тензоров, называемых проективными, специально связанную с этой структурой. Мы приведем элементы этой теории.
Назовем греческим контравариантным вектором объект, определенный 
координатами, который при замене перемен 
преобразуется по правилу 
и латинским контравариантным вектором объект, определенный 
координатами 
которые преобразуются по правилу
Ковариантные греческие и латинские векторы 
опре деляются аналогично равенствами
Выпишем подробнее формулы (17.1):
Следовательно, компоненты 
контравариантного греческого вектора определяют контравариантный латинский вектор. Формулы (17.2) дают
Следовательно, компонента индекса нуль ковариантного греческого вектора есть инвариант. Если, кроме того, этот инвариант есть нуль, остальные компоненты определяют ковариантный латинский вектор.
Исходя из этого, можно определить более общие проективные тензоры, например вида 
(сначала пишем греческие индексы на их местах, затем латинские). Правила преобразования компонент легко выписать, исходя из (17.1, 1 и 2). Сложение, умножение, свертывание по двум греческим или двум латинским индексам, одному верхнему и одному нижнему, легко определяются для проективных тензоров.
Кроме того, из сказанного следует, что две новые операции также приводят к тензорам:
1) замена одного верхнего греческого индекса латинским (от 
переходим к 
). От 
компонентами переходим к 
компонентами;
2) замена одного нижнего греческого индекса нулем (от 
переходим к инварианту 
От например, переходим к 
компонентами.
Формулы (16.6) показывают, что 
компоненты тензора» природа которого, т. е. ковариантность или контравариантность, определяется природой и местами индексов. С помощью предыдущих правил мы выводим отсюда тензоры
а затем свернутые тензоры
Тензор 
называется тензором кручения. Когда он равен нулю, это значит, что бесконечно малые циклы замыкаются с точностью до третьего порядка.
Когда тензор 
равен нулю (плоская связность), то пространство локально, наложимо на проективное пространство 
Приведем, наконец, правила ковариантного дифференцирования. Рассмотрим поле контравариантных греческих векторов 
и положим
Обращаясь к предыдущим формулам и к (16.5), мы видим непосредственно, что 
компоненты некоторого тензора — ковариантного производного тензора от 
Точно так же для поля ковариантных греческих векторов 
полагая
мы приходим к тому, что 
компоненты тензора, ковариантной производной от 
Наоборот, для поля латинских контравариантных векторов 
или ковариантных латинских векторов 
полагая
мы приходим к тому, что как величины 
так и величины 
не являются компонентами тензора. Тем не менее мы их назовем ковариантными производными поля.
Для произвольного тензора можно теперь также определить коварйантные производные. Это будут геометрические объекты, которые в общем случае не будут тензорами, если исходный тензор имеет латинские индексы. Так, если мы положим
то величины 
не будут компонентами тензора, что сильно уменьшает интерес к их рассмотрению. Однако их удобно ввести в тождества Бианки, выписывать которые мы предоставляем читателю. Впрочем в этом случае рассматривают только величины вида
которые являются компонентами тензора, что следует из самих тождеств Бианки, но можно доказать и непосредственно.
