6. Группа изометрии линейных элементов ds2 постоянной кривизны.

Для линейным элементом будет линейный элемент плоскости (§ 4); группа изометрии будет группой движений. Для положим

уравнения структуры напишутся так:

Для того чтобы найти выражение для линейного элемента в координатах линий нулевой длины, достаточно найти частное решение уравнения (4.7) (с постоянным отыскивая его в виде найдем, что удовлетворяет уравнению; получим, следовательно,

Изометрии могут быть двух видов: изометрии, сохраняющие семейства и изометрии, переводящие их друг в друга. Последние получаются, если переставить и произвести преобразование первого вида; следовательно, достаточно рассмотреть только этот случай. Если заменить в (5.1) буквы со звездочками прописными буквами, то она перейдет в систему

Первое уравнение показывает, что X должно быть функцией переменного и, второе — что выражение должно быть функцией переменного следовательно, должно быть произведением функции одного переменного и на функцию переменного Третье уравнение непосредственно показывает, что V должно быть дробно-линейной функцией переменного по соображениям симметрии должно быть дробно-линейной функцией переменного и. Положим

Для того чтобы было произведением функции от и на функцию от V, находим, что необходимо

Два первых соотношения показывают, что можно положить

а последнее дает

но не может равняться нулю, так как тогда было бы константой; следовательно, имеем

Непосредственно проверяется, что эти условия достаточны и совокупность изометричных преобразований линейного элемента в себя сохраняющих семейства линий нулевой длины, дается формулами

В качестве примеров имеем: