17. Геометрические объекты. Транзитивность и интранзитивность. Ориентация.

Пусть группа преобразований, действующая на области многообразия Геометрическим объектом называется семейство функций, определенных на группе и принимающих числовые значения:

Первый пример: точка. Пусть точка из ее образ при преобразовании Координаты точки в фиксированном репере составляют геометрический объект. Эти координаты являются также координатами точки в репере Условимся присоединять к каждому преобразованию репер Геометрический объект, который мы определили, отождествляется с точкой

Пусть геометрический объект; значение его для преобразования [т. е. совокупность чисел ] будем обозначать через Ты. Образом при преобразовании называется геометрический объект, значение которого для есть [пример: образ точки в преобразовании есть ].

Второй пример: скаляр и функция точки. Геометрический объект, равный всем своим образам, называется инвариантом. Семейство функций, которые его определяют, будет семейством постоянных: . В частности, инвариантный объект, определяемый одной постоянной, называется скаляром. Инвариантный объект, определяемый системой констант связанных с различными точками области например функция называется скалярным полем, или функцией точки.

Размерность есть геометрический объект группы гомеоморфизмов.

Классом называется геометрический объект, который вместе с объектом содержит все его образы при преобразованиях из группы

Возьмем теперь в качестве группу Ли. Мы будем рассматривать, почти исключительно группы, действующие транзитивно над точками многообразия и чаще всего классы геометрических объектов определяемых конечным числом чисел которые могут принимать по крайней мере все значения из области числового пространства

Допустим сначала, что действует транзитивно в Определив один объект класса с помощью репера связанного с этим объектом, рассмотрим преобразование группы которое переводит в другой объект . Тогда множество где -подгруппа, оставляющая фиксированным, переводит в присоединим к множество реперов тогда, чтобы два объекта были тождественными, необходимо и достаточно, чтобы они имели общий репер.

Следует отметить важный случай, который часто встречается в примерах: подгруппа может не быть связной. Пусть тогда связная компонента ее единицы; семейство реперов составляет геометрический объект преобразование которого посредством группы образует класс эта операция, выполненная над классом называется ориентацией, и объект называется ориентированным объектом вообще, определяет объект который является ориентированным объектом Объект называется носителем объекта Чаще всего объекту соответствует конечное число ориентированных объектов (обычно два), причем образы объекта при преобразованиях группы содержат все объекты с носителем

Если действует интранзитивно в классе рассмотрим преобразования объекта Они образуют класс в котором действует транзитивно. По условию существуют объекты, не содержащиеся в пусть — один из них. Он порождает класс не имеющий с общих элементов.

Таким образом, класс разбивается на классы транзитивности которые в наиболее элементарном случае реперируются системой чисел, называемых инвариантами; класс определяется с помощью его инвариантов, а объект в своем классе — так, как это было объяснено выше. Разовьем несколько более эти общие замечания.

В пространстве объектов класса преобразования группы записываются уравнениями вида

Многообразие, описываемое объектами получается исключением параметров из уравнений

(где обозначают координаты объекта ) или, что то же, из уравнений

Таким образом получается многообразие размерности (предполагается, что ), которое мы будем считать заданным аналитическим представлением в окрестности некоторой точки.

Теория неявных функций учит нас, что можно сделать преобразование координат в пространстве например

так чтобы объект если его отнести к координатам описывал многообразие

Первые координат объекта будут инвариантными относительно преобразовании группы. Говорят, что они составляют систему инвариантов

объекта. Следует заметить, что всякая другая система чисел, таких, что

составляет также систему инвариантов, которая может описывать класс, содержащий объект . В многообразии объект может быть определен, как это было указано выше.

Разбиение некоторого класса на классы транзитивности является одной из наиболее важных задач геометрии, индуцированной в многообразии группой

Аналитическая геометрия изучает такие классы, когда реперирование классов транзитивности можно осуществить с помощью конечного числа инвариантов (в общем так, как мы это сделали выше). Дифференциальная геометрия, определяемая группой (группой Ли), изучает такие классы, когда классы транзитивности реперируются с помощью функций, с помощью дифференциальных форм, удовлетворяющих некоторым условиям дифференцируемости (так, например, в метрической эвклидовой плоскости кривые, равные заданной кривой, характеризуются заданием кривизны в виде функции длины дуги; здесь класс транзитивности характеризуется инвариантной функцией, а не конечной системой чисел).

Мы встретим далее (см. часть III) геометрические объекты другого рода: объекты неголономные, которые можно получить, приняв за элементы базиса в не точки, а кривые (множество, которое мы могли бы рассматривать как пространство бесконечного числа измерений).