2. Касание двух кривых.

а. Определение. Вычисление. Рассмотрим в две кривые и имеющие общую обыкновенную точку и предположим, что существует допустимая параметризация этих двух кривых такая, что производные порядка существуют и непрерывны и что, кроме того,

Исходя из формул (6.4) предыдущей главы и из аналогичных формул, нетрудно убедиться, что адекватная замена переменной где имеет производные до достаточно высокого порядка, сохраняет равенства (2.1). Следовательно, эти формулы представляют геометрическое свойство относительного положения двух кривых. Это свойство, называемое порядком касания двух кривых, мы и будем изучать. В рассмотренном выше случае говорят, что две кривые имеют в точке касание по крайней мере (или не ниже) порядка Если нельзя найти параметризацию и такую, что равенство производных в точке имеет место до порядка то говорят, что и имеют в касание порядка

Касание порядка не ниже 1 означает, что две кривые имеют одну и ту же касательную. Если две кривые имеют общую точку и не касаются друг друга в этой точке, говорят, что они имеют касание порядка нуль.

Мы будем предполагать, что все производные, которые нам понадобятся, существуют и непрерывны, подразумевая при этом, что операции, которые будут описаны, следует прекратить, когда

входящие в рассуждение производные перестают удовлетворять этому условию.

Если мы имеем равенства (2.1), прежде всего нужно выяснить, нельзя ли заменой параметра на одной из кривых добиться положения, когда равенство производных будет иметь место до порядка, большего . Взяв некоторую функцию от , мы получаем последовательно

причем ненаписанные члены являются линейной комбинацией векторов обращающихся в нуль вместе с Если мы хотим сохранить в точке равенство векторов и до порядка , то мы шаг за шагом убеждаемся в том, что следует взять

Чтобы упростить запись, мы положим здесь Запишем

тогда отсюда следует, что

Итак, касание не может быть порядка, не ниже если вектор

не коллинеарен вектору

Наоборот, если

то, делая замену параметров

мы видим, что тогда по крайней мере до порядка имеют место равенства

т. е. две кривые будут иметь в касание порядка, по крайней мере равного

Пусть максимальный порядок, до которого имеют место равенства (2.2). Если при этом вектор

не коллинеарен то есть порядок касания ; в противном случае мы продолжаем то же рассуждение.

Может случиться, что порядок касания бесконечен и что тем не менее не совпадают. Это, например, имеет место для кривых

в начале координат. Но в случае, когда имеют производные всех порядков, мы сделаем дополнительное предположение, что эти кривые аналитические и что точка касания регулярна на каждой из них. Тогда бесконечный порядок касания означает, что кривые совпадают.

Если кривые различны, достаточно конечного числа операций предыдущего типа, чтобы определить их порядок касания.

В декартовых координатах из равенств (2.1) следует равенство производных взятых по каждой из кривых в точке для , и обратно. Из этого замечания и из определения следует, что порядок касания инвариантен относительно преобразований вида

где функции имеют непрерывные частные производные до достаточно высокого порядка в окрестности точки причем якобиан -отличен от нуля в этой точке.

Действительно, пусть порядок касания кривых Обозначим через и образы и (8) в пространстве Из наших допущений следует, что одинаковы на и в образе точки и имеют в этой точке порядок касания Преобразование, обратное к преобразованию (2.3), показывает по тем же причинам, что (7) и имеют в порядок касания итак,

Пусть кривые (7) и имеют в точке порядок касания, равный и пусть — допустимый параметр. Сделаем замену переменных

Кривые и (6) получат представления Из приведенных выше формул следует, что для того, чтобы параметр был допустимым в точке касания, необходимо и достаточно, чтобы существовало значение такое, что

Заключение будет то же самое, если мы заменим

Отсюда следует, что имеет место транзитивность: если кривые (7) и (8), с одной стороны, (7) и с другой стороны, имеют в точке порядок касания по крайней мере то и кривые (8) и имеют в точке порядок касания по крайней мере

Тот же параметр и на (7) может служить для определения касания Выразив кривую в виде мы запишем наши предположения в форме

Отсюда следует, что

Это доказывает наше утверждение.

b. Другое определение порядка касания. Пусть, кривые и (8) представлены параметрически в виде и имеют в обыкновенной точке касание порядка Пусть, далее, параметризация допустима. Рассмотрим точки

Имеем

где векторы, стремящиеся к нулю вместе с Следовательно,

Так как то мы видим, что

где и стремятся к нулю вместе с Отсюда мы выводим что имеет порядок 1 относительно когда стремится к (или относительно , когда стремится к ).

Верно и обратное, т. е. если касание имеет порядок , то, ставя в соответствие точке близкой к на (7), точку стремящуюся к вместе с на мы получаем, что порядок не может превзойти

Рис. 14.

В самом деле, возьмем, чтобы упростить обозначения, и найишем на время вместо и в Пусть точка задана на Найдем точку на на минимальном расстоянии от Эта точка существует, так как множество точек дуги содержащее внутри себя замкнуто, и если достаточно близка к то эта точка не совпадает с концом дуги. Имеем

откуда

Экстремумы величины определяются уравнением

или

или

В силу теоремы о неявных функциях, уравнение определяет в окрестности начала координат плоскости единственную функцию от непрерывную, такую, что для и имеющую в окрестности непрерывные производные до порядка Величина имеет только один экстремум, если достаточно близко к и мы видели, что это минимум. Отсюда следует, что как функция а, которую мы только что определили, приводит к единственной точке ближайшей к из точек кривой (8), при условии, что достаточно близка к Итак, мы можем параметризовать (8), вводя параметр и с помощью функции Положим Если бы расстояние было порядка выше это бы означало, что

т. е. что (7) и (8) имели бы в касание порядка выше вопреки предположению. Таким образом:

Для того чтобы две кривые и (8), имеющие общую точку имели в этой точке касание порядка необходимо и достаточно, чтобы кратчайшее расстояние от близкой к точки кривой до кривой (8) имело порядок малости относительно

Если можно найти на кривой такую точку что имеет порядок относительно то ее порядок касания с кривой (7) будет не меньше

В треугольнике (рис. 14) имеем

так как Отношение этих двух длин, с другой стороны, меньше 1, в силу определения поэтому

Отсюда следует, что величины одного и того же порядка малости, если угол не стремится к нулю, когда стремится к Так как сторона стремится к положению касательной к кривой, это будет, в частности, иметь место, когда

прямая будет иметь предел, отличный от касательной в Этот результат дает геометрическую интерпретацию возможных соотношений между точкой на и точкой на (8), которые позволяют вычислить порядок касания. Выше мы уже уточнили эти возможности.

с. Частные допустимые параметризации. Соотношения (2.4) показывают, в частности, что можно взять в качестве параметра а одну из декартовых координат, дающих допустимое представление окрестности обыкновенной точки Это видно также из того, что было сказано выше, так как прямая тимеет свои предельные направления в плоскости, параллельной плоскостям с выбранными координатами, и касательная в точке к двум кривым не лежит в этой плоскости, так как координата дает допустимое представление.

Пусть, например, мы имеем представления

В точке с абсциссой порядок касания не ниже если

при условии, что

касание будет в точности порядка , если, кроме того,

Чтобы проверить это, мы убеждаемся прежде всего в том, что не коллинеарен так как компоненты по х этих двух векторов соответственно равны и 1; соответствующими мы считаем здесь точки с одной и той же абсциссой на параллелен плоскости

Полагая теперь причем мы можем сопоставить точки, для которых параметр принимает одно и то же значение. Тогда порядок касания двух кривых

в точке есть наименьшее из чисел , таких, что

Порядок касания двух пространственных кривых требует выполнения условий (в плоскости число условий равно ).

Параметр, который постоянно употребляется в метрической геометрии, — криволинейная абсцисса — также является допустимым параметром. Этот параметр определяется равенствами

Отсюда следует, что и так как, с другой стороны, например, на (7)

то мы видим, что значения совпадают на кривых (7) и (8), когда эти кривые имеют в точке касание порядка Этого достаточно, чтобы утверждать, что — допустимый параметр. Определим кривые (7) и (8) уравнениями

Допустим, что они имеют общую точку соответствующую на (8), причем

и что, например,

Предположим, кроме того, что (7) и (8) касаются друг друга в этой точке, так что касание некоторого порядка действительна имеется.

Обозначая индексом нуль величины, относящиеся к точке касания» мы имеем

Если бы мы имели то мы имели бы также, в силу условия (2.6), что противоречит условию (2.5); следовательно, Мы будем теперь искать параметризацию кривой с

помощью трех функций

чтобы можно было свести задачу к предыдущему случаю. Для определения имеем уравнения

они позволяют, в силу (2.6), вычислить в окрестности точки касания. Отсюда выводится, кроме того, порядок малости по отношению к Действительно, если мы положим

и если в окрестности

то мы получим

так как соотношения (2.7) показывают, что если оба обращаются в нуль, то это было бы справедливо и для в точке будет, таким образом, касание порядка

Итак, порядок касания есть минимум. порядков функций уменьшенный на единицу.

d. Соприкасающиеся кривые. Рассмотрим фиксированную пространственную кривую (7), определенную уравнениями

и семейство кривых, зависящих от параметров:

Пусть точка на (7). Поскольку мы располагаем параметрами, мы можем, вообще говоря, распорядиться ими так, чтобы определить в семействе кривую проходящую через и имеющую в этой точке касание по крайней мере порядка с кривой (7).

Говорят, что кривая есть кривая семейства соприкасающаяся с в точке

Если семейство есть семейство прямых, то и прямая, соприкасающаяся с (7) в некоторой точке, будет ее касательной.

Если семейство есть семейство окружностей, то и мы определяем в каждой обыкновенной точке порядка 2 соприкасающуюся окружность; мы найдем позднее ее элементы.

Для того чтобы кривая семейства имела с (7) касание порядка требуются два дополнительных условия, а мы располагаем только одним параметром — параметром точки на кривой (7); поэтому в общем случае на кривой нет точек, в которых это имело бы место (точек сверхсоприкосновения)

Покажем, что кривая, соприкасающаяся с есть предел кривой семейства проходящей через точек, близких к Действительно, пусть пусть точки, через которые мы хотим провести кривую из Положив

мы должны иметь

В частности, мы видим, что имеют место равенства при Применяя несколько раз теорему о конечном приращении, можно заменить эту систему равенств системой

где числа, заключенные в наименьшем сегменте, содержащем значения Если мы теперь устремим все к нулю, то и будут стремиться к нулю, и, в силу непрерывности производных, в пределе мы будем иметь систему

Произведя те же операции с системой, относящейся к мы получим также в пределе

Таким образом, в пределе получаются две системы, в точности определяющие кривую, соприкасающуюся с (7) в точке что мы и хотели показать.