13. Поле тензоров. Ковариантная производная.
Изменим обозначения, чтобы подготовиться к общей теории римановых пространств 
Положим, как и ранее, 
и, затем
так что мы будем писать, употребляя условие суммирования 
(здесь индексы суммирования принимают только значения 1 или 2).
Поскольку дифференциалы 
являются контравариантными компонентами дифференциала 
свойство инвариантности формы 
получает следующее выражение: можно сказать, что 
будут в каждой точке компонентами симметричного тензора, который называется основным тензором 
при вариации точки имеем поле тензоров на поверхности.
Контравариантные и смешанные компоненты основного тензора определяются формулами
Возвратимся к понятию ковариантной производной поля касательных векторов 
мы положили (§ 11), что для вектора, задаваемого его ковариантными компонентами 
ковариантная производная равна
а для вектора, задаваемого его контравариантными компонентами
Покажем, что каждая из величин (13.3) и (13.4) являются компонентами некоторого поля тензоров. Исследуем первый случай и рассмотрим в некоторой точке произвольный вектор 
который мы подвергнем параллельному переносу вдоль произвольной кривой. Образуем в рассматриваемой точке дифференциал скалярного произведения 
имеем, обозначая через 
компоненты вектора 
В силу 
можно заменить на 
отсюда
что показывает, в силу контравариантности дифференциалов 
что будут ковариантными компонентами тензора валентности 2.
Аналогично можно доказать, что будут смешанными компонентами тензора.
Та же операция прилагается к тензорам более высокой валентности. Например, для поля тензоров 
полагая
и рассматривая, как и выше, два произвольных вектора 
которые перемещаются параллельно вдоль произвольной кривой, показываем, что 
к будут компонентами тензора. Точно так же величины
представляют собой компоненты тензора. Для тензоров более высокой валентности со смешанными компонентами имеем аналогичные формулы.
Предыдущие формулы показывают, что ковариантпное дифференцирование произведения производится по правилам обычного дифференцирования.
В частности, имеем
находим также
таким образом (лемма Риччи):
Ковариантная производная основного тензора равна нулю. 
Важное следствие этой леммы состоит в том, что различные представления поля тензоров дают при ковариантном дифференцировании различные представления одного и того же поля тензоров; следовательно, можно говорить о ковариантной производной тензора. Пусть, например, 
два представления одного и того же поля тензоров; имеем
полученное выше правило ковариантного дифференцирования произведения и лемма Риччи дают
что и доказывает наш результат.
Можно, конечно, рассматривать ковариантныс производные порядка выше первого; индексы ковариантного дифференцирования отделяются чертой от индексов первоначального тензора.
В качестве приложения найдем выражение дивергенции поля векторов X, заданных их компонентами 5; формула, приведенная в § 8, напишется так:
Между тем формулу (10.8) можно записать следующим образом:
откуда
Для функции точки 
естественно положить 
поскольку эти величины являются ковариантными компонентами вектора; получаем теперь
откуда
Упражнения
(см. скан)
