7. Теория пространственных кривых.
Рассмотрим пространственную кривую С, геометрическое место точек 
реперы нулевого - порядка присоединенные к этой точке, будут иметь ее своей вершиной, 
будут главными компонентами, и мы будем иметь
Мы отправляемся от реперов первого порядка, для которых прямая 
будет касательной к кривой; тогда 
равенства, из которых внешним дифференцированием получаем с помощью формул (1.4)
что дает, далее,
отсюда получаем уравнения в вариациях
Если 
то и 
редукция не может продолжаться; линия С сводится к прямой. В общем случае параметры а к а испытывают однородное линейное преобразование общего вида; следовательно, можно определить реперы второго порядка, приняв, например, 
и внося эти значения в уравнения (7.1), 
и 
Отсюда
определяется с точностью до множителя; для определения реперов третьего порядка принимаем прежде всего 
подвергается общему линейному преобразованию; мы заканчиваем определение этих реперов, полагая 
Оставим в стороне случай, когда 
показав, что можно ориентировать репер таким образом, что 
мы будем иметь:
Реперы третьего порядка:
Отсюда
испытывают общее линейное преобразование при 
вариации вторичных параметров; реперы четвертого порядка определяются, если положить 
Отсюда:
Отсюда следуют равенства
Легко написать уравнения в вариациях; мы видим, что 
претерпевает линейное преобразование: можно произвести нормирование, приняв 
далее, 
также претерпевает линейное преобразование, так что можно принять также 
откуда следуют равенства 
это дает нам вместе с предыдущими соотношениями 
Остаются только две вторичные компоненты, и мы напишем:
Новое внешнее дифференцирование дает
Если 
то редукция дальше не может продолжаться. Если 
то можно произвести нормирование, приняв 
мы не будем рассматривать этого случая. Допустим, что 
тогда второе уравнение в вариациях (7.5) показывает, что можно произвести нормирование, положив 
параметр 
испытывает тогда линейное преобразование, и его можно нормировать, положив 
Мы рассмотрим только случай, когда 
тогда не остается более вторичных параметров, и мы имеем
Положим
есть инвариантная дифференциальная форма (дифференциал проективной дуги), 
инварианты — проективные кривизны. Формулы Френе будут иметь вид
