7. Полные пространства. Компактные пространства и множества.

Пусть последовательность точек метрического сепарабельного пространства Если она сходится к точке то для всякого как мы видели, можно найти такое число что

следовательно, в силу неравенства треугольника,

Говорят, что последовательность удовлетворяет условию Коши, если для произвольного положительного можно найти такое натуральное что имеет место предыдущее неравенство. Всякая сходящаяся последовательность удовлетворяет условию Коши, но обратное не всегда имеет место. Если же, напротив, всякая последовательность, удовлетворяющая условию Коши, сходится в то говорят, что -полное пространство

Это понятие, впрочем, не является топологическим. Если пространство таково, что всякая бесконечная последовательность его точек содержит сходящуюся подпоследовательность, то это свойство в противоположность полноте, очевидно, сохраняется при гомеоморфизмах; тогда говорят, что пространство компактно. Это можно выразить также словами: всякая бесконечная последовательность различных точек пространства имеет по крайней мере одну предельную точку, или точку накопления, т. е. точку, всякая окрестность которой содержит бесчисленное множество точек последовательности.

Компактное пространство полно.

Говорят, что множество С, содержащееся в пространстве компактно, если подпространство С компактно.

К компактным множествам причисляют и те множества, которые содержат только конечное число точек, и пустое множество.

Пространство называется локально компактным в точке если существует компактная окрестность точки Пространство называется локально компактным, если оно локально компактно в каждой своей точке.

Приведем некоторые свойства компактных множеств:

1° Всякое компактное множество замкнуто.

2° Объединение конечного числа компактных множеств есть компактное множество.

3° В компактном множестве всякое замкнутое подмножество компактно.

4° Всякое компактное множество имеет конечный диаметр.

5° Лемма Бореля — Лебега. Пусть семейство открытых множеств, образующих покрытие компактного множества С (т. е. всякая точка из С принадлежит какому-нибудь открытому множеству из ). Тогда можно выделить из конечную систему множеств, образующих покрытие С.

Последнее свойство характеризует компактные пространства. Отсюда следует, что всякий непрерывный образ компакта есть компакт.

6° Равномерная непрерывность. Пусть непрерывное отображение компактного метрического пространства С на компактное метрическое пространство С. Всякому числу можно поставить в соответствие число , такое, что

В этом и состоит свойство равномерной непрерывности непрерывных функций на компактных множествах.