12. Относительное кручение. Четвертая квадратичная форма.

Нам остается рассмотреть вариацию относительного кручения линий с изменением направления их касательных. Возвращаясь к формуле (5.3) с триэдром Френе, имеем

откуда окончательно следует

здесь угол это тот самый угол, который мы ввели в § 7 [формула (7.2)]. Эта формула, полученная Оссианом Бонне, выражает относительное кручение как функцию главных кривизн и угла из нее непосредственно вытекает, что

В точке, не являющейся омбилической, обращается в нуль только для главных направлений; это новое свойство главных направлений может служить их характеристикой.

Что касается вычисления квадратичной формы IV, то в силу (5.3) имеем

но векторы и имеют ковариантные компоненты

отсюда в силу (III, 8.3)

Из тождества

непосредственно получаем

или, принимая во внимание (11.2),

Приложения.

1° Кручение асимптотических линий. Вдоль асимптотической линии угол главной нормали с вектором равен нулю или , следовательно, и угол асимптотического направления определяется уравнением

Подставляя это в формулу (12.1), получаем

причем знак перед радикалом определяется формулой, задающей

Итак, квадрат кручения асимптотической линии равен полной кривизне с обратным знаком; этот результат принадлежит Эннеперу.

2° Теорема Иоахимсталя. Рассмотрим две поверхности пересекающиеся по линии пусть относительное кручение линии С на поверхности ее относительное кручение на поверхности Необходимым и достаточным условием того, что является выполнение равенства т. е. разность должна оставаться постоянной вдоль линии С, где обозначают углы главной нормали в точке линии С с нормалями к поверхностям соответственно. Это означает, что поверхности должны пересекаться вдоль всей линии С под постоянным углом.

Рассмотрим, в частности, случай, когда равно нулю, что соответствует случаю, когда С — линия кривизны на поверхности непосредственно видно, что среди трех утверждений:

С — линия кривизны на

С — линия кривизны на

поверхности пересекаются под постоянным углом вдоль линии С,

из справедливости любых двух из них вытекает справедливость третьего; это предложение и называется теоремой Иоахимсталя.

На сфере или на плоскости все линии являются линиями кривизны; следовательно, чтобы плоская (или сферическая) кривая была линией кривизны на поверхности, необходимо и достаточно, чтобы плоскость (или сфера), содержащая эту линию, пересекала поверхность под постоянным углом.

3° Триортогональные системы. Теорема Дюпена. Допустим, что в некоторой окрестности пространства имеется три таких однопараметрических семейства поверхностей, что через каждую точку этой окрестности проходит одна и только одна поверхность каждого семейства; пусть

— уравнения этих трех семейств в прямоугольных координатах» Тогда точка рассматриваемой окрестности может быть представлена с помощью криволинейных координат

Говорят, что эти три семейства образуют триортогональную систему, если три поверхности, проходящие через произвольную точку рассматриваемой окрестности, взаимно перпендикулярны; это условие выражается формулами

Мы покажем, что поверхности триортогональной системы пересекаются по линиям кривизны; этот результат принадлежит Дюпену.

Другими словами, надо показать, что линии пересечения поверхностей будут линиями кривизны для поверхностей на которых они лежат.

Поскольку поверхности пересекаются под постоянным углом, относительное кручение линий одно и то же на обеих поверхностях мы будем обозначать относительные кручения через

С другой стороны, для кривых проходящих через заданную точку поскольку они попарно ортогональны, имеем формулы (12.2)

что

и эти равенства показывают, что кривые будут линиями кривизны на поверхностях и

Примером триортогональной системы может служить система, одно семейство которой состоит из поверхности и параллельных ей поверхностей, а два других семейства образованы развертывающимися поверхностями конгруэнций общих нормалей к поверхностям первого семейства.

Таким образом, произвольно заданная поверхность всегда образует часть некоторой триортогональной системы; в противоположность этому произвольно заданное семейство поверхностей, в общем случае, не образует части триортогональной системы.

Действительно, пусть такое семейство; для семейств и дополняющих эту систему, касательная плоскость в каждой точке будет определяться нормалью к поверхности семейства проходящей через эту точку, и одним из главных направлений. Следовательно, каждое из этих семейств определяется уравнением в полных дифференциалах, которое в общем случае не будет вполне интегрируемым.