Глава III. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ; ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА

1. Элементарные соображения.

Вернемся к поверхности предыдущей главы и ее первой основной квадратичной форме

и рассмотрим две ориентированные кривые проведенные на поверхности и проходящие через точку Пусть

— направления положительных полукасательных в точке к линиям соответственно; угол между этими двумя кривыми определяется формулой

где означают элементы дуги соответственно линий

Числитель формулы (1.1) — билинейная форма относительно и полярная для квадратичной формы чтобы эти две кривые были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы эта форма равнялась нулю.

Если рассмотреть на поверхности однопараметрическое семейство линий определяемое, например, уравнением

где заданная функция и С — произвольная постоянная, и если задаться функцией точки то соотношение (1.1) будет дифференциальным уравнением относительно которое определяет семейство линий пересекающих семейство под углом

Например, ортогональные траектории семейства задаются уравнением

В частности, ортогональные траектории линий определяются уравнением

для того чтобы эти траектории были линиями и , необходимо и достаточно, чтобы тождественно равнялось нулю (это очевидно a priori, так как ). Следовательно, для того чтобы координатные линии были ортогональны на поверхности необходимо и достаточно, чтобы средний член квадратичной формы был равен нулю:

Вообще, присоединяя к каждой точке поверхности триэдр первого порядка, так что

и рассматривая две линии, такие что

непосредственно находим, что

Примеры. 1° Пусть поверхность представлена в прямоугольных координатах уравнением

тогда

Непосредственно находим

и элемент площади будет

2° Поверхности вращения. Пусть поверхность вращения задается уравнениями

Находим

что можно записать как

или, полагая как

Обратно, всякий линейный элемент этого вида принадлежит некоторой поверхности вращения; достаточно положить

и эти уравнения определяют функцию с точностью до аддитивной константы, т. е. определяют поверхность вращения с точностью до переноса параллельно оси

Для сферы с радиусом и центром в начале координат мы можем положить

и принять за параметр; находим

Это можно написать так:

Рассмотрим еще поверхность, которая называется псевдосферой (рис. 29) и описывается линией на плоскости

называемой трактрисой, или кривой [равных касательных; имеем

откуда, полагая получаем

Рис. 29.