5. Огибающие пространственных кривых, зависящих от одного параметра.

Рассмотрим семейство кривых

зависящих от параметра Мы называем огибающей этого семейства совокупность кривых касающихся каждой кривой семейства для некоторой окрестности значений X в точке, меняющейся вместе с X, как и

а. Общие результаты. Мы сделаем относительно дифференцируемости те же предположения, что и выше. Вне особого множества мы должны иметь на

так как если, например, обыкновенная точка на принадлежала бы и в ней мы имели бы то, разрешая уравнение относительно X и внося получаемое выражение в уравнение мы имели бы в окрестности этой точки

Замена переменных, допустимая при легко уточняемых условиях, аналогичных условиям, уже несколько раз изложенным, а именно

преобразует кривые (5,1), близкие к в семейство прямых

которое не имеет огибающей (первая основная теорема).

Четыре уравнения (5.1) и (5.2) не имеют в общем случае решений, кроме решений, не зависящих ни от какого параметра. Следовательно, вообще говоря, огибающей нет.

Чтобы существовала огибающая, нужно прежде всего, чтобы эти четыре уравнения свелись к трем, например чтобы уравнение было следствием трех других. Допустим это и предположим, что в точке в которой удовлетворяются уравнения

имеем

что влечет за собой неравенства

т. е. эта точка — обыкновенная на

Система (5.3) позволяет выразить х, у, z через X в окрестности этой точки и определяет кривую на которой, дифференцируя два первых уравнения (5.3) и принимая во внимание (5.2), имеем

Эти соотношения выражают касание кривых и если только Но дифференцируя третье уравнение (5.3), мы получаем

Точка будет, таким образом, регулярной на и параметр X является допустимым, если ; кривая будет составлять часть огибающей кривых

Заметим еще, что если исключить X из уравнений (5.1), мы получим уравнение

не содержащее более X, которое может заменить уравнение в системе (5.1). Таким образом, на первый взгляд кажется, что условие совместности всегда удовлетворяется, так как

Но предположим, что мы находимся в окрестности обыкновенной точки на для некоторой окрестности значений . Уравнения (5.1) запишутся тогда, если, например, допустимо следующим образом:

что дает параметрическое представление поверхности (5.5). Но система (5.2) записывается тогда в виде

Она выражает, вообще говоря, тот факт, что огибающая если она существует, есть особая линия поверхности (5.5). Это значит, что

вдоль этой линии. Изложенная теория не применима более, если исходить из системы Это, например, имеет место

в случае семейства равных кривых касающихся оси и получающихся из одной из них винтовым движением с осью

Может, однако, оказаться в частных случаях, что представление поверхности (5.5) через недопустимо вдоль и что эта линия не является особой на (5.5). В этом случае две инфинитезимально близкие кривые семейства имеют общую точку, тогда как этого нет в общем случае (предыдущий пример).

С другой стороны, исходя непосредственно из уравнений мы найдем, вообще говоря, огибающую. Это показывает, что кривые вообще не являются полным пересечением двух предыдущих поверхностей.

Замечание. Если кривые заданы вектор-функцией то, чтобы семейство допускало огибающую, необходимо, чтобы можно было определить и как функцию от X так, чтобы векторы были коллинеарны. Если в декартовых координатах

то это условие запишется в виде

Огибающая характеристик. Ребро возврата. Характеристическая кривая или характеристика поверхности семейства (3.1) определяется уравнениями

Она расположена на одной из поверхностей, получаемых исключением X из этих двух уравнений, пусть это будет поверхность .

Чтобы получить огибающую семейства характеристик нужно присоединить к системе (5.6) единственное уравнение

Из того, что мы видели, следует, что в окрестности точки, удовлетворяющей уравнениям (5.6) и (5.7), эти три уравнения определяют дугу огибающей когда

Из первого условия следует, что две поверхности не касаются друг друга в этой точке. Уравнение (5.7) показывает, что порядок касания в обыкновенной точке для не ниже 2.

Мы покажем, что вообще говоря, есть особая линия на огибающей поверхностей определенной уравнениями

Мы можем допустить, что точка, которую мы рассматриваем, совпадает с началом координат и что она соответствует значению Пересечем

огибающую поверхностей поверхностью проходящей через начало, которое является на ней обыкновенной точкой. Сечение определено уравнениями

и на нем X можно использовать в качестве параметра в окрестности начала, если поверхность не касается ни поверхности ни поверхности т. е. если

Для вычисления первых производных от мы имеем или

откуда получаем, принимая во внимание (5.8), что

Далее, имеем

где через [2] обозначены (различные) выражения, являющиеся квадратичными формами по х, у, z. Дифференцируя еще один раз, получаем

причем ненаписанные члены содержат в качестве множителей или

Для вычисления вторых и третьих производных в начале координаг имеем, поскольку первые производные равны нулю,

Первая система показывает, что так . Принимая во внимание второе уравнение первой системы, первое уравнение второй системы можно переписать в виде

который показывает, что мы имеем также если сравнивать его с первым уравнением первой системы, что векторы неколлинеарны. Наконец, в окрестности начала получаем для кривой представление вида

причем

и это показывает нам, что кривая имеет в начале координат точку возврата. По этой причине кривая называется ребром возврата огибающей семейства поверхностей

с. Линейчатые поверхности. Развертывающиеся поверхности. Семейство прямых, зависящих от одного параметра

где параметр, фиксирующий точку на прямой, не имеет, вообще говоря, огибающей, когда изменяется. Эти прямые описывают линейчатую поверхность. Если они имеют огибающую, можно найти таким образом, чтобы два вектора и были коллинеарны, т. е. чтобы

и это условие не только необходимо, но и достаточно (кроме того случая, когда коллинеарно т. е. когда прямые имеют фиксированное направление и описывают цилиндр, но и тогда можно сказать, что их огибающей будет бесконечно удаленная точка в направлении Множество прямых (5.9) состоит из касательных к пространственной кривой.

Впрочем, всегда касательные к пространственной кривой образуют развертывающуюся поверхность. Действительно, пусть пространственная кривая. Ее соприкасающаяся плоскость имеет уравнение

( обозначает текущую точку). Характеристика получается присоединением к этому уравнению соотношения, получаемого дифференцированием по и, а именно

которое представляет плоскость, и очевидно, что касательная к этой кривой, определенная уравнением принадлежит этим двум плоскостям. Ребро возврата получаем, дифференцируя еще один раз, что дает

В обыкновенной точке третьего порядка на кривой эти три уравнения дают Следовательно, кривая есть ребро возврата развертывающейся поверхности, описываемой ее касательными.

Наконец, всякая развертывающаяся поверхность описана касательными к некоторой пространственной кривой. В самом деле, пусть имеется

семейство плоскостей

где функции от Характеристика и, далее, характеристическая точка определяются уравнениями

Разрешая уравнения (5.10), (5.11) и (5.12) относительно , мы находим ребро возврата в виде (Если эти функции — константы, то сводится к одной точке и поверхность есть конус.) Дифференцируя (5.10) и (5.11) по и принимая во внимание (5.11) и (5.12), мы получаем

Дифференцируя еще раз (5.13) и принимая во внимание (5.14), получаем

и уравнения (5.13) и (5.15) показывают, что плоскость (5.10) является соприкасающейся к ребру возврата.

Окончательно мы видим, что линейчатая поверхность не является, вообще говоря, развертывающейся и что развертываю щаяся поверхность описывается касательными к ее ребру возврата.

Заметим, наконец, что касательная плоскость к линейчатой поверхности (5.9) в точке определяется двумя векторами Она всегда содержит прямолинейную образующую и изменяется вместе с кроме случая развертывающихся поверхностей, для которых она одна и та же вдоль всей образующей (цилиндры и конусы причисляются к развертывающимся поверхностям.

Мы получаем характеристическое свойство развертывающейся поверхности: ее касательная плоскость зависит только от одного параметра.