11. Поле векторов. Ковариантные частные производные Параллельный перенос.

Рассмотрим на поверхности поле касательных векторов X, определенное их контравариантными компонентами имеем

Будем искать ковариантные компоненты проекции дифференциала на касательную плоскость в точке они получаются, если умножить соответственно на векторы Принимая во внимание формулы (10.3), получаем соответственно

Учитывая же соотношения (10.4) и формулы (8.1), находим контравариантные компоненты проекции вектора в виде

Коэффициенты при в этих выражениях называются ко вариантными производными поля в контравариантных координатах.

Если вектор задан своими ковариантными компонентами [формулы (8.1)], то первое из выражений (11.1) запишется так:

или в силу (10.3)

формулы (10.4) дают

где ковариантные компоненты очевидны; проделывая то же самое со вторым уравнением (11.1), имеем окончательно

коэффициенты при в этих формах, линейных относительно называются ковариантными производными поля в ковариантных координатах.

Из этих формул непосредственно вытекает, что производная скалярного произведения двух полей может быть подсчитана при помощи формул

Пусть теперь угол, который образует вектор X с проекцией на касательную плоскость в точке вектора поля взятого в точке Имеем, обозначая через X вектор касательной плоскости, получаемый из X поворотом на угол

Отсюда получается следующее выражение для дифференциала этого угла, если заметить, что

т. е., поскольку

Рассмотрим теперь поле единичных векторов и допустим, что мы перемещаемся вдоль кривой С, соединяющей точку с точкой Мы будем говорить, что интеграл выражает изменение направления вектора X вдоль кривой С.

Если все время равно нулю, то говорят, что вектор X испытывает параллельный перенос вдоль линии поскольку мы имеем тогда

а векторы взаимно перпендикулярны, отсюда следует, что проекция вектора на касательную плоскость равна нулю, т. е. что имеют место уравнения

Обратно, эти соотношения имеют следствием два предыдущих, т. е. постоянная величина, и это замечание приведет нас к понятию, введенному Леви-Чивита, параллельного переноса вектора вдоль линии С, заданной уравнениями

Отправляясь от точки и рассматривая единичный вектор с компонентами можно записать в силу (11.2) уравнения

следующим образом:

где величины известные непрерывные функции параметра Эти уравнения допускают решение единственное, если для оно принимает значения Говорят, что вектор касательной плоскости к поверхности в точке с контравариантными компонентами получается из вектора параллельным переносом вдоль линии С.

В плоскости все символы Кристоффеля равны нулю, параллельный перенос будет просто переносом. Полученное выше понятие представляется, следовательно, как обобщение понятия эквивалентности; но важно отметить сейчас же, что отправляясь от вектора, присоединенного в касательной плоскости к точке поверхности, и перемещаясь параллельно вдоль кривой, приводящей в точку мы получаем в результате параллельного переноса вектор, зависящий, вообще говоря, от пути, которым мы следовали из точки в точку

Рассмотрим теперь единичный вектор который перемещается вдоль кривой, и пусть единичный вектор, подвергающийся параллельному переносу вдоль кривой С. Угол О вектора X с вектором задается соотношением

откуда, поскольку мы получаем

Принимая во внимание значение имеем

Эта функция, дробно-линейная относительно вырождается, так как в силу унитарности вектора

окончательно находим, следовательно, что

такой вид принимает формула (11.4) для единичного вектора; она, дает геометрическую интерпретацию дифференциала угла, на который поворачивается вектор при параллельном переносе вдоль кривой.

Если вектор X сам испытывает параллельный перенос, то мы видим, что тождественно равно нулю; следовательно, если вдоль кривой параллельно перемещаются два единичных вектора, то угол между ними остается неизменным.

Посмотрим, каковы те линии, вдоль которых единичный касательный вектор переносится параллельно. Так как вектор имеет контравариантные компоненты и то должны выполняться следующие соотношения:

это уравнения (10.6) для геодезических линий.

Отсюда новое определение параллельного переноса: пусть точка поверхности соседняя точка; построим геодезическую, соединяющую эти две точки; если X — единичный вектор касательной плоскости в точке то единичный вектор касательной плоскости в точке образующий с полукасательной к геодезической в этой точке угол, равдый тому, который образует вектор X о полукасательной к геодезической в точке называется вектором, полученным из вектора X параллельным переносом; отсюда переходом к пределу получаем тот процесс интегрирования, который был использован выше для параллельного переноса вдоль кривой.

Вернемся теперь к формуле (10.5), которая дает геодезическую кривизну линии ее можно записать в виде

сравнивая это выражение с равенством (11.6), имеем

где означает угол, на который поворачивается единичный касательный вектор при параллельном переносе вдоль кривой этот угол играет, следовательно, ту же роль, что и угол касательной с фиксированным направлением в теории плоских кривых. Приращение

угла между двумя точками линии С называется тогда углом геодезической смежности двух касательных.

Пример. Чтобы иллюстрировать тот факт, что параллельный перенос зависит, вообще говоря, от пути, рассмотрим на сфере сферический триортогональный треугольник (рис. 32). Перемещая параллельно вектор касательный к линии в точке А, вдоль линии а потом вдоль линии приходим в точку с направлением, касательным к линии в то время как перемещая этот вектор вдоль линии приходим в точку с направлением, касательным к линии