5. Ковариантная производная тензора.

Рассмотрим поле контравариантных векторов отнесенных к точкам многообразия и лежащих в линейном касательном многообразии в каждой точке окрестности точки Пусть

Мы имеем

полагая

Так как есть вектор, то из этого равенства следует, что компоненты контравариантного вектора (тогда как для

в общем случае это не имеет места). Напишем

Так как — компоненты контравариантного вектора, то величины являются компонентами тензора называемого ковариантной производной вектора

Рассматривая теперь поле ковариантных векторов

имеем также, в силу (3.5),

и величины

являются компонентами ковариантного вектора. Полагая

мы видим, что компоненты тензора (2) называемого ковариантной производной вектора

Рассмотрим вообще поле тензоров, скажем тензора

Принимая во внимание соотношения (3.1) и (3.5), мы находим дифференцированием

где

и эти величины являются компонентами тензора Полагая далее

мы получаем отсюда, что величины будут компонентами тензора (2) называемого ковариантной производной тензора

Аналогичным способом мы определяем ковариантную производную в некоторой точке поля тензоров произвольного порядка; можно, далее, определить последовательные ковариантные

производные. Поле тензоров с ковариантной производной, равной нулю, называется стационарным. Изучим случай, когда

Отсюда следует, что

откуда, далее,

Как нетрудно видеть, здесь заключен общий результат, который мы выскажем следующим образом:

Правило ковариантного дифференцирования произведения тензоров совпадает с обычным правилом дифференцирования.

Рассмотрим теперь свернутый тензор Имеем

так как справедливо равенство

поскольку эти два выражения отличаются только перестановкой немых индексов

Равенства (5.8) запишутся, если мы вернемся к знакам так:

Мы имеем здесь общий результат, который выскажем так:

Ковариантное дифференцирование и операция свертывания перестановочны.

Отсюда следует, в частности, что ковариантная производная свернутого произведения вида получается по обычным правилам дифференцирования.

Однако в общем случае нельзя переставлять порядок двух ковариантных дифференцирований.

Рассмотрим, например, случай ковариантного вектора . Записав сначала

мы находим

Полагая, далее,

получаем, что

Отсюда, сравнивая два выражения для имеем

и, наконец, в силу (4.5), получаем равенство

которое показывает, что порядок двух ковариантных дифференцирований нельзя в общем случае изменить.

Наконец, отметим, что, задав поле ковариантных векторов мы получаем антисимметричный тензор называемый ротором поля Для поля же контравариантных векторов инвариант называется дивергенцией поля. Обозначая через функцию точки и полагая

мы получаем, что -компоненты ковариантного вектора, а именно градиента поля

Условие для того, чтобы поле было полем градиента, получается, если мы запишем что дает

и, наконец, если принять во внимание антисимметрию тензора кручения,