8. Теория поверхностей. Репер Френе.
Рассмотрим поверхность
реперами нулевого порядка опять будут реперы, имеющее точку
первой вершиной как выше,
будут главными компонентами, и мы имеем
Реперами первого порядка будут реперы, у которых плоскость
является касательной плоскостью к поверхности в точке
тогда
что дает с помощью внешнего дифференцирования
откуда, в силу леммы Картана (0, II, 9),
Отметим еще формулы
Из уравнений (8.1) получаем внешним дифференцированием
Поскольку, в силу леммы Картана, эти скобки будут линейными комбинациями форм
их вариация равна нулю, откуда следует, что
Мы узнаем формулы, аналогичные формулам
; мы находим затем
Мы не будем изучать случай, когда
который будет соответствовать развертывающимся поверхностям, и ограничимся рассмотрением случая, когда асимптотические будут действительными (можно сказать также, что речь идет об общем случае в
аналитической области). Можно нормировать репер, выбрав
если применить лемму Картана к уравнениям
то, учитывая предыдущие уравнения, можно написать:
Отсюда
что дает для вариаций
подвергаются линейным преобразованиям, и можно произвести нормирование, приняв
(откуда
). Исключая затем случай, когда
который, как легко видеть, приводит к линейчатым поверхностям, можно принять затем
(все время в поле комплексных чисел), что дает
откуда следует
Применяя лемму Картана к уравнениям (8.2), имеем:
Отметим также, что теперь
поскольку в правой части более нет вторичных компонент, то формы
не зависят теперь ни от каких параметров: это инвариантные формы.
Из уравнений (8.3) получаем внешним дифференцированием
Уравнения в вариациях запишутся следующим образом:
коэффициенты определяются только с точностью до констант. Поскольку имеется не более трех вторичных параметров, мы можем распорядиться ими так, чтобы приравнять нулю величины
тогда
и
примут фиксированные значения, это будут