4. Кривизна и кручение.

Формулы Серре — Френе показывают, что имеют размерность, обратную к длине. Полагают обычно и называют соответственно радиусами кривизны и кручения кривой в точке

Кривизна допускает определение, аналогичное тому, которое дано для плоских кривых.

Из начала О проводим вектор Когда изменяется на описывает на сфере радиуса 1 с центром О кривую у, называемую сферической индикатрисой касательных для кривой Направление обхода на индикатрисе индуцировано тем направлением обхода, которое выбрано на Положительная полукасательная к кривой у в точке имеет направление вектора

Отображение кривой на ее индикатрису показывает прежде всего геометрически, что направление вектора инвариантно. Действительно, пусть точка, соседняя с ее сферическое изображение. Направление вектора есть предел направления векра Если мы меняем направление обхода, мы получаем в качестве сферической индикатрисы кривую симметричную у относительно О. Пусть — сферические образы точек Так как теперь предшествует то направление есть предел направления вектора имеющего то же направление, что и

Пусть теперь — криволинейная абсцисса на сферической индикатрисе, образ вектора Мы имеем

откуда, в силу (2.3),

или, принимая во внимание, направление, выбранное на

Пусть точка, близкая к и пусть — ее сферический образ. Имеем

так как отношение длины дуги у к ее хорде, стремится к 1. Рассматривая теперь наименьшую дугу большого круга сферы, проходящую через и обозначим через ее длину.

Рис. 27.

Это в то же время есть угол между касательными к в точках причем отношение точно так же стремится к 1. Отсюда следует, что

Кривизна, таким образом, есть предел отношения угла смежности к длине дуги, когда точка стремится к точке (углом смежности называется угол между касательными в

Что касается радиуса кривизны, то можно показать, что это есть ради/с соприкасающейся окружности к кривой в точке или круга кривизны. Действительно, окружность, проходящую через можно определить как пересечение сферы, на которой эта окружность является окружностью большого круга, и плоскости,

проходящей через и центр сферы мы имеем уравнения

где К обозначает радиус круга и А — некоторый вектор. С помощью двух дифференцирований выводим отсюда

Мы видим прежде всего, что вектор А должен быть коллинеарен вектору т. е. что точка с должна находиться в соприкасающейся плоскости. Уравнение показывает тогда, что с лежит на главной нормали, и соотношение означает, что Мы имеем, следовательно, Радиус круга кривизны равен, таким образом, а его центр, называемый центром кривизны, лежит на главной нормали.

Можно было бы также ввести понятие индикатрисы главных нормалей и индикатрисы бинормалей. Первая не представляет никакого интереса, последняя же выводится из индикатрисы касательных конструкцией, называемой конструкцией с помощью дополнительных конусов, и позволяет дать интерпретацию абсолютной величины кручения как предела отношения угла между двумя близкими, соприкасающимися плоскостями к дуге.

Перейдем к вычислению Взяв за параметр криволинейную абсциссу, мы имеем прежде всего из формул (2.3)

Для кручения, умножая скалярно на имеем

или, заменяя на

Но

откуда

Заменяя этим значением в предыдущем смешанном произведении и вспоминая, что смешанное произведение, в которое входят

два коллинеарных вектора, равно нулю, мы получаем

откуда находим окончательно, заменяя его значением,

При произвольной параметризации кривой обозначая штрихам производные по , имеем

В последнем равенстве ненаписанные члены являются линейной ком бинацией Отсюда получаем прежде всего

откуда

В прямоугольных координатах это запишется так:

Имеем, далее,

Отсюда и из (4.2) получаем

или, в координатной форме,

Знак кручения совпадает со знаком смешанного произведения

Кривизна и кручение будут функциями точки на кривой если аналитическая кривая, то аналитические функции.

Замечания. 1° В точке действительной кривой в которой кривизна равна нулю, (что записывается также в форме Следовательно, колинеарны, касательная стационарна, точка не является обыкновенной точкой второго порядка. Мы видели (), что кривая, касательная к которой стационарна во всякой точке, есть прямая. Прямые являются единственными действительными кривыми с нулевой кривизной — результат, который был получен в § 2 из других соображений.

2° Точка, в которой кручение равно нулю, не является обыкновенной точкой третьего порядка в силу (4. 5) и соприкасающаяся плоскость в ней стационарна. Мы видели (), что кривая, соприкасающаяся плоскость которой стационарна в каждой точке, будет плоской. Итак, единственные кривые, на которых кручение тождественно равно нулю, суть плоские кривые.