16. Возвращение к условиям интегрируемости.
Небесполезно, чтобы завершить эту главу коротко, изложить условия интегрируемости в том виде, в каком их можно найти в классической литературе.
Вернемся к обозначениям и понятиям гл. III (§ 13) и напишем вторую основную квадратичную форму в виде
Поскольку эта форма инвариантна, коэффициенты 
будут компонентами тензора. Но в силу (III, 10) проекция вектора 
на касательную плоскость имеет конравариантные компоненты 
следовательно, можно написать
С другой стороны, мы видели [см. (1.2)], что вектор имеет ковариантные компоненты 
что можно записать так:
Дифференцируя (16.2), получим
Воспользуемся симметрией относительно индексов 
сравнивая члены, содержащие вектор 
находим
вычитая из обеих частей величину 
напишем это равенство в виде
Мы получили формулы Кодацци, которые показывают, в силу симметрии коэффициентов 
что можно произвольно переставлять индексы 
эти формулы сводятся к двум:
Равенство коэффициентов в членах, содержащих 
в уравнении (16.4), дает
Эти равенства сводятся к тождествам или дают различные выражения полной кривизны (см. III, упражнение 10), так как выражение в скобках в последней строке равно 
или нулю) таким образом, снова приходим к теореме Гаусса. Дифференцируя (16.3), мы также получаем уравнения Кодацци.
Упражнения
(см. скан)
