10. Подсчет инвариантных линейных форм и инвариантов. Конгруэнции и линейчатые поверхности комплекса.
Пусть дан некоторый комплекс, произвольная прямая которого задается, например, вектором 
и точкой 
. Мы будем рассматривать следующие три квадратичные формы:
Две первые называются основными, их можно вычислить, исходя 
предыдущих данных. Покажем сейчас, как можно тогда
подсчитать третью форму, а также инвариантные линейные формы, и определить середину луча комплекса. Имеем
но в проективной плоскости 
формы I и II, если их приравнять нулю, будут представлять конические сечения; первая — коническое сечение, распадающееся на пару прямых, проходящих через точку 
вторая — коническое сечение, также проходящее через эту точку. Следовательно, имеется только одно значение параметра х, для которого коническое сечение пучка 
распадается на пару прямых, из которых одна 
проходит через предыдущую точку и касается конического сечения 
Таким образом, мы можем подсчитать 
после того, как это сделано, мы видим, что одна из прямых, на которые распадается коническое сечение 
и только одна касается конического сечения 
это дает 
с точностью до множителя; формула (10.2) дает затем форму 
и далее форму 
с точностью до знака; выражение формы I даст нам тогда 
все время с точностью до знака; если выбрать определенным образом эти знаки, то можно подсчитать форму III.
Остается определить середину луча; полагая 
имеем
откуда следует
Рассмотрим теперь конгруэнцию, образованную из лучей комплекса и определяемую заданием (
как функций двух параметров; после дифференцирования это дает соотношение вида
две конгруэнции, для которых величины коэффициентов 
будут одни и те же для одной образующей, называются касающимися вдоль этой образующей.
Параметр распределения линейчатой поверхности конгруэнции, проходящей через заданную образующую, дается формулой
Мы видим, что для конгруэнции, у которой на этой образующей выполняется соотношение
эта образующая будет омбиликальной таким образом:
Середина образующей является средней точкой конгруэнции комплекса, для которой эта образующая будет омбиликальной; параметр вращения на этой образующей является параметром распределения линейчатых поверхностей конгруэнции, проходящих через эту образующую.
Положив теперь
получим
откуда определятся два главных параметра распределения и получатся соотношения
Обозначая через 
среднюю точку, имеем [формула (5.5)]
откуда
эти формулы дают нам интерпретацию коэффициентов 
Принимая во внимание определение, приведенное в § 5 для фокусов и граничных точек, легко находим
и видим, что в действительной области граничные точки всегда будут лежать по разные стороны от середины луча.
Конгруэнции нормалей задаются соотношением 
и мы имеем
- середина луча разделяет фокусы; это последнее соотношение очевидно в силу равенства (8.6), если принять во внимание, что фокальные плоскости взаимно перпендикулярны.
Упражнения
(см. скан)
