8. Вложенные многообразия.

Пусть многообразие, вложенное в риманово пространство с положительно определенной формой . В каждой точке многообразия линейное касательное пространство будет подпространством линейного касательного пространства для в котором введена структура эвклидова пространства, индуцирующая, следовательно, эвклидову структуру в пространстве, касательном к Но это только один из аспектов изучения в его отношении к

Положим Репер, связанный с точкой многообразия зададим следующим образом: векторы будут определять линейное многообразие, касательное к и будут ортогональны векторам которые будут определять линейное многообразие, нормальное к так что Мы напишем уравнения (I, 3.1) в виде

Многообразие определяется, скажем, уравнениями мы допустим тогда, что система эквивалентна системе т. е. что она вполне интегрируема. Так как то основная форма многообразия записывается, с другой

стороны, в виде

Положим теперь в (8.1) и для упрощения записи сохраним прежние обозначения; имеем

Будем по-прежнему обозначать через значения коэффициентов правой части (8.2) при Заметим также, что новые формы таковы, что система вполне интегрируема, как эквивалентная системе

Теперь допустимые преобразования на множестве векторов суть аффинные преобразования, действующие либо только на либо только на Их матрицы имеют форму

Итак, надо ожидать, что тензоры многообразия будут получаться из тензорных произведений центро-аффинных пространств размерностей и дуальных к ним.

Эти тензоры будут иметь два сорта индексов: латинские, изменяющиеся от 1 до и греческие, изменяющиеся от 1 до Так как матрица, обратная матрице (8.3), имеет аналогичный вид, то мы определим и равенствами

и будем употреблять величины для опускания или поднятия латинского индекса и величины для поднятия или опускания греческого индекса.

Чтобы указать числа ковариантных и контравариантных индексов некоторого тензора, можно было бы условитьсй сначала писать их для латинских индексов, затем для греческих индексов. Однако будет удобнее пользоваться другой записью: первая колонка будет относиться к латинским индексам, вторая — к греческим. Так, компоненты тензора компоненты тензора

Операции сложения, умножения, свертывания легко обобщаются, так же как и определения областей их применимости. Напишем преобразование (8.3) в виде

и положим

Мы видим непосредственно, что величины и величины представляют собой соответственно компоненты тензоров которые мы назовем связывающими тензорами.

Вернемся к уравнениям (8.1) и продифференцируем их внешним образом. Мы получим

С внутренней точки зрения, многообразие само является римановым пространством, связность которого задана при помощи форм Имеем поэтому, так как кручение равно нулю,

Записав, с другой стороны, что пространство имеет нулевое кручение, используя (8.1) и полагая, далее, мы получаем отсюда, поскольку система вполне интегрируёма,

записывая эти равенства подробно, выводим отсюда, что

Итак, первый связывающий тензор симметричен по своим латинским индексам.

Положим, далее,

Сделав замену переменных (8.4) и обозначая черточками выражения, в которые переходят предыдущие выражения, легко получаем

Напишем теперь

введенные здесь величины антисимметричны по Тогда

Тензоры выражаются через связывающие тензоры. Действительно, из их выражений мы находим

Перейдем теперь к ковариантному дифференцированию. Применяя лемму Риччи к элементу пространства полагая и принимая во внимание (8.2), получаем, что

Уравнения второй строки дают соотношение между двумя связывающими тензорами (один из них сводится к другому). Посмотрим, что можно вывести из других соотношений.

Рассмотрим на многообразии поле векторов

Имеем

Полагая, как и раньше,

мы видим, что X — компоненты тензора внутренней ковариантной производной вектора Имеем, далее,

и величины компоненты тензора внешней ковариантной производной вектора

Рассматривая теперь ковариантное представление поля векторов, мы приходим к тому, что нужно положить

где компоненты тензора внутренней ковариантнои производной вектора компоненты тензора внешней ковариантной производной вектора

Рассмотрим также внешний вектор Полагая таким же образом

мы видим, что компоненты тензора внешней ковариантной производной вектора тогда как компоненты тензора внутренней ковариантной производной вектора X

Мы имеем аналогичные результаты, исходя из ковариантного поля и полагаем

Исходя из этого, можно определить различные тензоры, связанные с дифференциалом тензора вида . Мы определим только его собственную ко вариантную производную: это будет тензор, получающийся, если взять внутренние производные по латинским индексам, и внешние производные по греческим индексам; таким образом,

где — компоненты этого тензора.

Формулы (8.6) показывают, в частности, что собственные ковариантные производные двух тензоров равны нулю. Мы получаем тогда тот же результат, что и в § 1, а именно, что тензоры, являющиеся собственными ковариантными производными заданного поля тензоров, записанные в различных видах, являются разными формами одного и того же тензора.

Собственная ковариантная производная обладает, таким образом, свойствами, изложенными в § 1. Можно также определить собственные ковариантные производные высших порядков.

Смешанные ковариантные производные, относящиеся к разным представлениям одного и того же поля тензоров, также имеют свойство быть представлениями одного и того же тензора. Для того чтобы это установить, нужно в общем случае использовать совокупность всех соотношений (8.6).

В частности, легко получаем, что

откуда, в силу (8.5).

что позволяет вычислить два вышестоящих тензора, исходя из собственных ковариантных производных связывающих тензоров.

Из соотношений (8.5) и (8.5) мы получим посредством внешнего дифференцирования тождества, аналогичные тождествам Бианки, которые называют уравнениями Гаусса — Кодацци. Мы их не будем выписывать, так они нам почти нигде не понадобятся.

Предыдущую теорию можно распространить на случай, когда ставится задача изучения многообразия погруженного в многообразие которое в свою очередь погружено в при этом можно изучать его внутренние свойства, его свойства вложения в и его внешние свойства в Матрица допустимых преобразований будет аналогична матрице (8.3), но единственными членами, отличными от нуля, будут члены, которые расположены в трех квадратах со сторонами симметричных относительно главной диагонали, которая является также их главной диагональю. В тензорах, которые придется ввести, нужно будет различать три сорта индексов вместо двух.

Ясно, что можно было бы двигаться еще дальше в этом направлении, рассматривая такое, что

Мы не будем заниматься этими обобщениями и удовольствуемся тем, что изложим некоторые результаты, относящиеся к кривым, проведенным на

Имеем, возвращаясь к обозначениям § 7,

и

Положим

где единичные векторы, ортогональные друг другу, а положительные скаляры [для для берем такой, чтобы триэдр был правым, как в (II, IV, 5)]. Тогда

Пусть теперь угол, образуемый имеем

есть первая геодезическая кривизна кривой, т. е. первая кривизна кривой, когда мы рассматриваем ее как погруженную только в не принимая в расчет того факта, что само погружено в есть первая внешняя (или нормальная) кривизна. Она одна и та же для двух касающихся кривых (обобщение теоремы Менье); она будет первой кривизной в многообразии геодезической линии многообразия имеющей направление касательной к этим двум кривым.

Действительно, из второго уравнения (8.7) мы выводим, что

Числитель этого выражения называется второй основной формой многообразия первой формой которого является

Дифференцированием второго уравнения (8.7) мы получаем

что приводит нас к введению третьей основной формы дифференциалов (степени 6):

Дифференцированием касательного вектора правой части (8.10) мы получаем таким же образом вектор, разлагающийся на касательный вектор и нормальный вектор. На этот раз это внешний вектор, компоненты которого по содержат только первые производные переменных по так что квадрат длины этого вектора есть дифференциальная форма восьмой степени, которую легко написать, образованная с помощью и основные дифференциальные формы образуются поочередно с помощью Может случиться, однако, что относительные кривизны, введенные нами, будут иметь положительный знак, соответствующие формы станут точными квадратами, и будет удобно ввести один из их квадратных корней.

Так, когда а принимает только значение 1, и выбрав за единичный вектор, мы полагаем и получаем

В этом случае удобнее рассматривать форму только второго порядка, что мы и сделали в

Возвращаясь к (8.7) и (8.8), мы видим, что если кривая на есть геодезическая пространства то она является также и геодезической многообразия Если мы хотим, чтобы, наоборот, каждая геодезическая на была геодезической и для необходимо, чтобы из равенства следовало равенство т. е. чтобы

Эта последняя величина зависит только от направления касательной, поэтому необходимо, чтобы вторая основная форма была тождественным нулем, откуда следует, что компоненты вектора должны быть тождественными нулями, т. е. мы должны иметь

или, поскольку симметричны по

Когда это имеет место, многообразие называется вполне геодезическим.

Если задано, то, образуя предыдущую систему, для исходя из линейного элемента многообразия мы видим без труда, что в общем случае она решения не имеет. Другими словами, в общем случае в римановом пространстве не существует вполне геодезического многообразия.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)