9. Конгруэнции нормалей.

Так называются конгруэнции прямых, которые являются нормалями некоторой поверхности они будут тогда нормалями ко всем поверхностям, параллельным этой поверхности.

Мы видели, что для чтобы конгруэнция была конгруэнцией нормалей, необходимо, чтобы фокальные плоскости были взаимно перпендикулярны; мы покажем сейчас, что это условие также и достаточно.

Действительно, определим конгруэнцию при помощи направляющей поверхности через каждую точку которой проходит прямая, определяемая единичным вектором произвольная точка этой прямой задается равенством

где ее абсцисса, отсчитываемая от точки

Предположим, что координатные линии на поверхности высекаются развертывающимися поверхностями конгруэнции; имеем тогда

Для того чтобы эта конгруэнция была конгруэнцией нормалей, надо, чтобы можно было определить так, чтобы

если учесть соотношение (откуда ), то это уравнение запишется так:

Это уравнение в полных дифференциалах, которое, если оно вполне интегрируемо, определяет с точностью до аддитивной константы, и конгруэнция будет тогда конгруэнцией нормалей к семейству параллельных поверхностей. Условие интегрируемости имеет вид

или, после упрощения,

Между тем, если фокальные плоскости ортогональны, то триэдр триортогонален; значит, вектор перпендикулярен к фокальной плоскости в частности, к вектору Поэтому имеем и так же находим, что эти два скалярных произведения фигурируют в уравнении (9.1), и они, следовательно, равны между собой.

поскольку каждое из них равно нулю; итак, конгруэнция будет конгруэнцией нормалей.

Отсюда следует, что если задать на поверхности однопараметрическое семейство геодезических, то касательные к этим линиям образуют конгруэнцию нормалей, так как в некоторой точке одна из фокальных плоскостей будет касательной плоскостью к поверхности, другая — соприкасающейся плоскостью к геодезической, проходящей через эту точку, а эти две плоскости взаимно перпендикулярны.