2. Расположение поверхности по отношению к касательной плоскости. Обыкновенные точки второго порядка.

Если форма II не равна тождественно нулю в точке поверхности то положение точки по отношению к касательной плоскости в точке определяется знаком выражения

при этом вторые частные производные функции предполагаются непрерывными, обозначают скаляры, стремящиеся к нулю вместе с приращениями Выражение (2.1) можно также записать в форме

где также стремится к нулю вместе с чтобы изучить его знак, нам надо будет рассмотреть три случая.

Первый случай. Эллиптическая точка. Форма II или форма знакоопределенная, т. е.

Если будет достаточно малым, то можно найти такое число что неравенство

будет иметь место, если

при этих условиях сохраняет постоянный знак и обращается в нуль только для Это означает, что точка

остается все время по одну сторону от касательной плоскости в точке если и ко будут достаточно малы; поверхность не пересекает свою касательную плоскость и имеет с ней в некоторой окрестности только одну общую точку — точку касания. Для определенности будем говорить, что поверхность лежит выше своей касательной плоскости в точке

Пусть заданы две точки с координатами соответственно с точностью до бесконечно малых высшего порядка проекция точки с координатами

на касательную плоскость совпадает с серединой отрезка между проекциями точек и разность

с точностью до бесконечно малых высшего порядка может быть представлена в виде

она имеет знак формы II. Между тем представляет собой отметку высоты точки по отношению к касательной плоскости; замечание, которое мы только что сделали, показывает, что точка лежит в плоскости, проектирующей отрезок, соединяющий точки и ниже середины этого отрезка.

Рис. 35.

Поэтому говорят, что поверхность выпукла в окрестности рассматриваемой точки, которая называется эллиптической точкой поверхности

Второй случай. Гиперболическая точка, или точка с кривизнами противоположных знаков. Форма II или форма не

является определенной, т. е.

Возвращаемся к выражению ; аналогичные рассуждения показывают нам, что уравнение

определяет в окрестности точки и в касательной плоскости в точке две ветви кривых которые представляют собой сечения поверхности касательной плоскостью в точке и соответственно касаются направлений обращающих в нуль форму II

эти направления называются асимптотическими направлениями поверхности в точке

Более того, изменяет знак при пересечении кривой или кривой следовательно, поверхность пересекает свою касательную плоскость.

Рассечем поверхность плоскостью, проходящей через точку и нормаль к поверхности в точке пусть это сечение имеет направление отличное от асимптотических направлений.

Рис. 36.

Примем теперь достаточно малыми, чтобы сохраняло один и тот же знак в точках

С точностью до бесконечно малых высшего порядка эти точки проектируются на касательную плоскость на направление имеем

это показывает, что сечение поверхности рассматриваемой плоскостью будет кривой, которая в окрестности точки обращена своей вогнутостью к положительному направлению нормали или к ее отрицательному направлению, смотря по знаку формы II для направления

Если же мы примем за направление асимптотическое направление, то, предполагая существование непрерывных частных производных третьего порядка для функции мы видим, что выражение будет по крайней мере третьего порядка малости: следовательно, асимптотическое направление имеет с поверхностью касание не ниже второго порядка, оно будет направлением, соприкасающимся к поверхности в точке

Главные кривизны поверхности в такой точке имеют противоположные знаки. Такая точка называется гиперболической точкой поверхности

Третий случай. Параболическая точка. Развертывающиеся поверхности. Форма II или форма сохраняет постоянный знак, но не является знакоопределенной: это случай, когда

Имеется одно двойное асимптотическое направление задаваемое уравнением

и точка называется параболической.

Такие же соображения показывают теперь, что нормальные сечения, проходящие по направлению, отличному от асимптотического, имеют вогнутость в одну и ту же сторону. Однако поверхность может пересекать касательную плоскость или же оставлять ее с одной стороны в зависимости от рассматриваемого случая; так, поверхность пересекает свою касательную плоскость в начале, между тем как поверхность не пересекает ее.

В силу (1.2) соотношение (2.3) напишется так:

оно показывает, что два вектора и коллинеарны, например,

в точке существует направление, определяемое равенством вдоль которого и это условие достаточно для того, чтобы точка была параболической.

На поверхности существует, вообще говоря, линия параболических точек, определяемая уравнением (2.3); например, на торе экстремальные параллели, вдоль которых касательная плоскость перпендикулярна к оси, будут линиями параболических точек; они отделяют множество эллиптических точек от множества гиперболических точек. Впрочем, вообще, если поверхность касается плоскости вдоль некоторой линии, то эта линия будет линией параболических точек, ибо мы имеем вдоль всей этой, линии.

Если поверхность состоит только из параболических точек, то через каждую точку проходит линия, вдоль которой Пусть определяет это семейство линий; равенство должно иметь следствием соотношения (II, 1.2) показывают теперь, что отсюда Поверхность, следовательно, будет развертывающейся (III, 7). Кроме того, вдоль прямолинейной образующей развертывающейся поверхности мы имеем Таким образом,

Поверхность, все точки которой параболические, является развертывающейся, и обратно.

Точки уплощения. Если форма II обращается в нуль тождественно, то для изучения расположения поверхности по отношению к ее касательной плоскости нужно рассматривать производные высших порядков. Уравнения

не что иное, как уравнения ; такая точка, следовательно, будет точкой уплощения, согласно введенному там определению. Предыдущие три уравнения относительно вообще говоря, будут несовместны, следовательно, на поверхности в общем случае не имеется точек уплощения.

В силу того, что мы видели в (I, 1.5), поверхность, целиком состоящая из точек уплощения, является плоскостью, и обратно.

Обыкновенные точки второго порядка. На поверхности не являющейся развертывающейся, эллиптические точки и гиперболические точки образуют открытые множества; параболические точки представляют собой особенные точки.

Мы будем называть обыкновенной точкой второго порядка на поверхности такую точку, в окрестности которой может быть введена такая допустимая параметризация что функция будет иметь в этой окрестности непрерывные частные производные второго порядка; точка тогда представляет собой или эллиптическую или гиперболическую точку. Можно показать, как и в первой части, что это свойство можно обнаружить, принимая в качестве параметров подходящим образом выбранную пару декартовых координат.

На развертывающейся поверхности все точки будут параболическими; мы будем называть на ней обыкновенной точкой второго порядка любую точку, не являющуюся точкой уплощения. Легко видеть, оставляя в стороне особые точки ребра, возврата, что из обыкновенных точек второго порядка будут состоять те прямолинейные образующие, которые выходят из обыкновенных точек третьего порядка на ребре возврата.