Главная > Курс локальной дифференциальной геометрии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Расположение поверхности по отношению к касательной плоскости. Обыкновенные точки второго порядка.

Если форма II не равна тождественно нулю в точке поверхности то положение точки по отношению к касательной плоскости в точке определяется знаком выражения

при этом вторые частные производные функции предполагаются непрерывными, обозначают скаляры, стремящиеся к нулю вместе с приращениями Выражение (2.1) можно также записать в форме

где также стремится к нулю вместе с чтобы изучить его знак, нам надо будет рассмотреть три случая.

Первый случай. Эллиптическая точка. Форма II или форма знакоопределенная, т. е.

Если будет достаточно малым, то можно найти такое число что неравенство

будет иметь место, если

при этих условиях сохраняет постоянный знак и обращается в нуль только для Это означает, что точка

остается все время по одну сторону от касательной плоскости в точке если и ко будут достаточно малы; поверхность не пересекает свою касательную плоскость и имеет с ней в некоторой окрестности только одну общую точку — точку касания. Для определенности будем говорить, что поверхность лежит выше своей касательной плоскости в точке

Пусть заданы две точки с координатами соответственно с точностью до бесконечно малых высшего порядка проекция точки с координатами

на касательную плоскость совпадает с серединой отрезка между проекциями точек и разность

с точностью до бесконечно малых высшего порядка может быть представлена в виде

она имеет знак формы II. Между тем представляет собой отметку высоты точки по отношению к касательной плоскости; замечание, которое мы только что сделали, показывает, что точка лежит в плоскости, проектирующей отрезок, соединяющий точки и ниже середины этого отрезка.

Рис. 35.

Поэтому говорят, что поверхность выпукла в окрестности рассматриваемой точки, которая называется эллиптической точкой поверхности

Второй случай. Гиперболическая точка, или точка с кривизнами противоположных знаков. Форма II или форма не

является определенной, т. е.

Возвращаемся к выражению ; аналогичные рассуждения показывают нам, что уравнение

определяет в окрестности точки и в касательной плоскости в точке две ветви кривых которые представляют собой сечения поверхности касательной плоскостью в точке и соответственно касаются направлений обращающих в нуль форму II

эти направления называются асимптотическими направлениями поверхности в точке

Более того, изменяет знак при пересечении кривой или кривой следовательно, поверхность пересекает свою касательную плоскость.

Рассечем поверхность плоскостью, проходящей через точку и нормаль к поверхности в точке пусть это сечение имеет направление отличное от асимптотических направлений.

Рис. 36.

Примем теперь достаточно малыми, чтобы сохраняло один и тот же знак в точках

С точностью до бесконечно малых высшего порядка эти точки проектируются на касательную плоскость на направление имеем

это показывает, что сечение поверхности рассматриваемой плоскостью будет кривой, которая в окрестности точки обращена своей вогнутостью к положительному направлению нормали или к ее отрицательному направлению, смотря по знаку формы II для направления

Если же мы примем за направление асимптотическое направление, то, предполагая существование непрерывных частных производных третьего порядка для функции мы видим, что выражение будет по крайней мере третьего порядка малости: следовательно, асимптотическое направление имеет с поверхностью касание не ниже второго порядка, оно будет направлением, соприкасающимся к поверхности в точке

Главные кривизны поверхности в такой точке имеют противоположные знаки. Такая точка называется гиперболической точкой поверхности

Третий случай. Параболическая точка. Развертывающиеся поверхности. Форма II или форма сохраняет постоянный знак, но не является знакоопределенной: это случай, когда

Имеется одно двойное асимптотическое направление задаваемое уравнением

и точка называется параболической.

Такие же соображения показывают теперь, что нормальные сечения, проходящие по направлению, отличному от асимптотического, имеют вогнутость в одну и ту же сторону. Однако поверхность может пересекать касательную плоскость или же оставлять ее с одной стороны в зависимости от рассматриваемого случая; так, поверхность пересекает свою касательную плоскость в начале, между тем как поверхность не пересекает ее.

В силу (1.2) соотношение (2.3) напишется так:

оно показывает, что два вектора и коллинеарны, например,

в точке существует направление, определяемое равенством вдоль которого и это условие достаточно для того, чтобы точка была параболической.

На поверхности существует, вообще говоря, линия параболических точек, определяемая уравнением (2.3); например, на торе экстремальные параллели, вдоль которых касательная плоскость перпендикулярна к оси, будут линиями параболических точек; они отделяют множество эллиптических точек от множества гиперболических точек. Впрочем, вообще, если поверхность касается плоскости вдоль некоторой линии, то эта линия будет линией параболических точек, ибо мы имеем вдоль всей этой, линии.

Если поверхность состоит только из параболических точек, то через каждую точку проходит линия, вдоль которой Пусть определяет это семейство линий; равенство должно иметь следствием соотношения (II, 1.2) показывают теперь, что отсюда Поверхность, следовательно, будет развертывающейся (III, 7). Кроме того, вдоль прямолинейной образующей развертывающейся поверхности мы имеем Таким образом,

Поверхность, все точки которой параболические, является развертывающейся, и обратно.

Точки уплощения. Если форма II обращается в нуль тождественно, то для изучения расположения поверхности по отношению к ее касательной плоскости нужно рассматривать производные высших порядков. Уравнения

не что иное, как уравнения ; такая точка, следовательно, будет точкой уплощения, согласно введенному там определению. Предыдущие три уравнения относительно вообще говоря, будут несовместны, следовательно, на поверхности в общем случае не имеется точек уплощения.

В силу того, что мы видели в (I, 1.5), поверхность, целиком состоящая из точек уплощения, является плоскостью, и обратно.

Обыкновенные точки второго порядка. На поверхности не являющейся развертывающейся, эллиптические точки и гиперболические точки образуют открытые множества; параболические точки представляют собой особенные точки.

Мы будем называть обыкновенной точкой второго порядка на поверхности такую точку, в окрестности которой может быть введена такая допустимая параметризация что функция будет иметь в этой окрестности непрерывные частные производные второго порядка; точка тогда представляет собой или эллиптическую или гиперболическую точку. Можно показать, как и в первой части, что это свойство можно обнаружить, принимая в качестве параметров подходящим образом выбранную пару декартовых координат.

На развертывающейся поверхности все точки будут параболическими; мы будем называть на ней обыкновенной точкой второго порядка любую точку, не являющуюся точкой уплощения. Легко видеть, оставляя в стороне особые точки ребра, возврата, что из обыкновенных точек второго порядка будут состоять те прямолинейные образующие, которые выходят из обыкновенных точек третьего порядка на ребре возврата.

1
Оглавление
email@scask.ru