2. Поверхности второго порядка (не развертывающиеся). Линейчатые поверхности.

В каждом из случаев возобновим редукцию в предположении, что аффинная кривизна равна нулю.

Эллиптический случай. При уравнение (1.5) влечет за собой равенства

и уравнения в вариациях приводятся к виду

Это уравнения группы эвклидовойгеометрии плоскости ; можно произвести нормирование, взяв (откуда ), и мы. получаем Дифференцируя формулы содержащие параметры, мы выводим:

Внешним дифференцированием получаем, что следовательно, есть константа, и это единственный инвариант поверхности. Триэдры порядка 3 суть триэдры Френе, они зависят от одного параметра в каждой точке. Единственные условия

интегрируемости записываются следующим образом:

Мы найдем эти поверхности.

а. Если то есть полный дифференциал. Положим тогда без труда проверяется, что формы

представляют собой полные дифференциалы, которые мы обозначим через соответственно. Полагая, наконец,

мы видим, что уравнения смещений триэдра принимают вид

Они немедленно интегрируются и дают

где фиксированные векторы, для которых Выбирая в качестве начала точку и для осей координат (х, у, z) направления векторов принимаемых за единичные, мы получим уравнение одной из этих поверхностей в форме

Итак, речь идет эллиптических параболоидах. Аффинная нормаль имеет направление диаметров параболоида.

b. Когда имеем прежде всего и можно выбрать начало таким образом, что Далее, имеем

где I обозначает константу.

Это уравнения перемещений триортогонального триэдра с фиксированной вершиной, ребра которого имеют фиксированную длину, при условии, что

и мы можем легко убедиться, что длина каждого из векторов (по допущению погруженных в эвклидово пространство) не влияет на тот результат, который мы имеем в виду доказать. Мы поэтому всегда можем взять эти векторы длины 1.

Так как задача здесь аналитическая, вопросы действительности при интегрировании не возникают. По отношению к фиксированному единичному триортогональному триэдру мы получаем тогда

Если обозначить через координаты текущей точки поверхности по отношению к этому триэдру, то уравнение поверхности принимает вид

Если то поверхность представляет собой эллипсоид. Выполняя унимодулярную подстановку

мы приводим это уравнение к виду

Направления осей — это направления трех попарно сопряженных диаметров; объем параллелепипеда, который они определяют, равен что дает интерпретацию k.

Если то мы имеем двуполостный гиперболоид, уравнение которого можно привести к виду

Для к имеем интерпретацию, аналогичную предыдущей.

В обоих случаях аффинная нормаль проходит через центр поверхности второго порядка.

Гиперболический случай. Вернемся к уравнениям где Предполагая, что имеем Заменяя на мы видим, что меняет знак; можно поэтому произвести нормирование, положив или

Изучим прежде всего, что происходит, когда этом случае имеем после дифференцирования главных компонент второго

порядка:

Как и выше, находим, что константа и что эти триэдры представляют собой триэдры Френе. Условия интегрируемости имеют вид

Перемещения триэдра Френе определяются уравнениями

На линиях имеем поэтому сохраняет фиксированное направление; следовательно, эти линии являются прямыми. То же самое верно для линий Поверхности, о которых идет речь, имеют, таким образом, два семейства прямолинейных образующих; это поверхности второго порядка — гиперболические параболоиды или однополостные гиперболоиды. Однако легко развить и метод интегрирования. Если то постоянно, скажем Имеем положим отсюда следует, что и мы будем писать Написанные выше уравнения дают

откуда интегрированием получаем

где фиксированные векторы, причем Если выбрать в качестве координатного триэдра триэдр с вершиной

определяемый векторами то уравнение поверхности будет иметь вид

речь идет о гиперболическом параболоиде. Аффинная нормаль имеет направление диаметров.

Если то можно выбрать начало таким образом, что Полагая, далее,

можно записать уравнения перемещений триэдра в виде

Как и в эллиптическом случае, мы сведем дело к уравнениям перемещений триортогонального единичного триэдра, полагая

Тогда получим, исходя из фиксированного триэдра

Если триэдр с вершиной в центре определен векторами то мы находим

откуда следует, что уравнение поверхности имеет вид

Итак, мы имеем дело с однополостным гиперболоидом. Сделав унимодулярное преобразование

мы приведем его уравнение к виду

откуда получаем интерпретацию Аффинная нормаль прохсдит через центр.

Во всех случаях неразвертывающиеся поверхности второго порядка остаются инвариантными при преобразованиях их трехпараметрической аффинной унимодулярной группы, преобразующей их реперы Френе один в другой.

Линейчатые поверхности. Изучим теперь случай, когда при равном нулю, не равно нулю. Можно произвести нормирование, полагая что влечет за собой вторичных параметров больше нет. Триэдр порядка 3 есть триэдр Френе:

линейные инвариантные формы. Внешним дифференцированием последних главных форм мы находим, что

Здесь инварианты. Условия интегрируемости имеют вид

Формулы перемещения репера записываются в виде

Вторая из них показывает, что сохраняет фиксированное направление вдоль кривых эти кривые сводятся к прямым; следовательно, такая поверхность является линейчатой.