6. Уравнения структуры Эли Картана.

Если линейные дифференциальные формы переменными линейно независимы, то все могут быть линейно выражены через отсюда следует, что внешние дифференциалы могут быть линейно выражены через внешние произведения и мы будем писать

где

С другой стороны, если группа параметров оставляет инвариантными формы то она оставляет инвариантными и их внешние дифференциалы (§ 1); мы имеем, следовательно,

что

т. е. все будут постоянными, которые называются постоянными структуры группы, и мы напишем, наконец,

эти уравнения называются уравнениями структуры Картана.

Мы имеем, таким образом, условия, необходимые для того, чтобы линейных форм были относительными компонентами репера группы. Эти условия также локально достаточны; действительно, мы покажем, что если линейно независимых дифференциальных форм с переменными удовлетворяют системе вида (6.2) с постоянными коэффициентами то преобразования, которые оставляют их инвариантными, образуют в окрестности тождественного преобразования ядро группы.

Действительно, рассмотрим систему Пфаффа

с переменными эта система вполне интегрируема, так как из уравнений (6.2) легко получить

таким образом, условие (2.3) удовлетворено. Следовательно, существует интегральное многообразие измерений, проходящее через произвольно заданную точку некоторой окрестности точки пространства размерности где условия регулярности для коэффициентов форм обеспечивают существование и единственность такого интеграла. Форма уравнений (6.3) показывает, впрочем, что можно взять в качестве этой окрестности произведение окрестности в пространстве на такую же окрестность в пространстве с, если принять

Общая интегральная поверхность определяет тогда преобразование вида (5.1), зависящее от параметров которое оставляет инвариантными формы эта совокупность преобразований содержит тождественное преобразование, определяемое точкой

Эта совокупность образует, следовательно, ядро группы; полученный результат составляет вторую теорему Ли, в той форме, которую придал ей Картан:

Теорема. Чтобы преобразования, оставляющие инвариантными линейно независимых дифференциальных форм с переменными образовывали ядро группы, необходимо и достаточно, чтобы эти формы удовлетворяли уравнениям структуры вида (6.2).

Рассмотрим, наконец, линейных дифференциальных форм с переменными и предположим, что, подобно формам они удовлетворяют уравнениям структуры (6.2); система Пфаффа с переменными

вполне интегрируема, в чем можно убедиться, как выше; следовательно, по крайней мере в некоторой окрестности пространства переменных некоторой окрестности пространства переменных и можно провести через каждую точку интегральное многообразие измерений. Это значит, что можно найти такие функции что где точки и переменные и выбираются произвольно.

Рассмотрим теперь формы как относительные компоненты инфинитезимальных перемещений репера ядра группы

преобразований; тогда этот результат будет означать, что существуют семейства реперов с параметрами, инфинитезимальные перемещения которых имеют компонентами формы Эти семейства зависят от координат могут получаться одно из другого посредством преобразования группы (этот последний результат был уже получен в § 4).

Замечание. Кроме соотношений (6.1), постоянные структуры удовлетворяют другим соотношениям, которые можно получить, записывая это дает

поскольку формы линейно независимы, отсюда следует в силу (6.1), что

Можно доказать (третья теорема Ли), что соотношения (6.2) и (6.4) необходимы и достаточны для того, чтобы постоянные были постоянными структуры группы.