7. Антисимметричные контравариантные тензоры. Мультивекторы.
Пусть
антисимметричный тензор. Он определяется, значениями своих
компонент, у которых
эти компоненты называются главными. Найдем закон преобразования этих компонент. Имеем
откуда, переставляя индексы
во второй сумме, найдем
Вообще, антисимметричный контравариантный тензор
будет определяться своими С компонентами, у которых
они называются главными, и можно проверить, как выше, что закон их преобразования имеет вид
Важный частный случай таких тензоров — мультивекторы Рассмотрим два контравариантных вектора х и у. Внешним произведением
этих векторов, взятых в этом порядке, или бивектором, определенным векторами х и у, называется антисимметричный тензор
Если
компоненты векторов х и у, то он имеет компонентами
Внешнее произведение обладает следующими свойствами:
1°
(антикоммутативность; отсюда
2°
(дистрибутивность относительно сложения).
3° Если с — константа, то
Вообще, если
контравариантные векторы, то внешним произведением этих
векторов, взятых в этом порядке, называется тензор
где сумма распространяется на все перестановки
системы
индексов
и где
если эта перестановка четная, и
если она нечетная.
Свойства антикоммутативности и дистрибутивности аналогичны этим свойствам в случае
. В частности, имеем
[
если перестановка
четная, и
если она нечетная].
Пусть
— компоненты вектора
тогда компонентами тензора (7.2) будут
Отсюда следует, что для того, чтобы внешнее произведение
векторов было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы определяли линейное многообразие размерности
т. е. чтобы они были линейно зависимы.
Если
векторов линейно независимы, то в аффинном пространстве
из которого получено
их концы определяют линейное многообразие размерности
Обратно, линейное многообразие
размерности
может быть определено системой
линейно независимых векторов
концы которых лежат в
всякий другой вектор, конец которого лежит в
есть линейная комбинация этих
векторов. Отсюда следует, что если мы определим
с помощью
других векторов
то их внешнее произведение будет равно
— константа. Локальная система координат в
задается тогда тензором (7.4) с точностью до множителя. Эта система называется системой плюккеровых, или грассмановых, координат многообразия
Заметим, наконец, что, рассматривая внешние произведения векторов базиса, мы можем записать всякий контравариантный антисимметричный тензор в виде
[В правой части равенства использованы сокращенные обозначения (§ 4).]