7. Антисимметричные контравариантные тензоры. Мультивекторы.

Пусть антисимметричный тензор. Он определяется, значениями своих компонент, у которых эти компоненты называются главными. Найдем закон преобразования этих компонент. Имеем

откуда, переставляя индексы во второй сумме, найдем

Вообще, антисимметричный контравариантный тензор будет определяться своими С компонентами, у которых они называются главными, и можно проверить, как выше, что закон их преобразования имеет вид

Важный частный случай таких тензоров — мультивекторы Рассмотрим два контравариантных вектора х и у. Внешним произведением этих векторов, взятых в этом порядке, или бивектором, определенным векторами х и у, называется антисимметричный тензор

Если компоненты векторов х и у, то он имеет компонентами

Внешнее произведение обладает следующими свойствами:

1° (антикоммутативность; отсюда

2° (дистрибутивность относительно сложения).

3° Если с — константа, то

Вообще, если контравариантные векторы, то внешним произведением этих векторов, взятых в этом порядке, называется тензор

где сумма распространяется на все перестановки системы индексов и где если эта перестановка четная, и если она нечетная.

Свойства антикоммутативности и дистрибутивности аналогичны этим свойствам в случае . В частности, имеем

[ если перестановка четная, и если она нечетная].

Пусть — компоненты вектора тогда компонентами тензора (7.2) будут

Отсюда следует, что для того, чтобы внешнее произведение векторов было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы определяли линейное многообразие размерности т. е. чтобы они были линейно зависимы.

Если векторов линейно независимы, то в аффинном пространстве из которого получено их концы определяют линейное многообразие размерности Обратно, линейное многообразие размерности может быть определено системой линейно независимых векторов концы которых лежат в всякий другой вектор, конец которого лежит в есть линейная комбинация этих векторов. Отсюда следует, что если мы определим с помощью других векторов то их внешнее произведение будет равно — константа. Локальная система координат в задается тогда тензором (7.4) с точностью до множителя. Эта система называется системой плюккеровых, или грассмановых, координат многообразия

Заметим, наконец, что, рассматривая внешние произведения векторов базиса, мы можем записать всякий контравариантный антисимметричный тензор в виде

[В правой части равенства использованы сокращенные обозначения (§ 4).]