3. Линейные аффинные связности. Эквивалентность.

Пусть многообразие размерности точки которого определены переменными . В касательном аффинном пространстве выберем базис, образованный контравариантными векторами Линейная аффинная связность будет задана соотношениями вида

где линейные формы от коэффициенты которых суть функции от имеющие частные производные до достаточно высокого порядка (можно допустить для определенности, что это аналитические функции).

Одна и та же (геометрическая) связность, как мы это уже заметили, может быть представлена бесчисленным множеством способов соотношениями вида (3.1); здесь мы хорошо видим причину этого, которая состоит в произволе выбора векторов касательного аффинного пространства. Можно, например, взять в качестве вектор с компонентой 1 в направлении и в направлениях Тогда имеем Вообще же мы можем заменить любой системой векторов вида

где — функции от от Мы будем иметь

Разрешим уравнения (3.2) и положим

Для связности будем иметь формулы, аналогичные (3.1), причем

Как мы видели, можно, в частности, выбрать базис таким образом, что причем форм могут быть взяты произвольно. Так как каждая зависит от произвольных функций, мы видим, что множество аффинных линейных связностей, которые могут быть отнесены к базисному многообразию зависит от произвольных функций.

Связность (3.1), которую мы определили, исходя из контравариантного базиса, можно определить, исходя из ковариантного базиса Возьмем, в частности, дуальный к базис, определенный уравнениями

и пусть

— уравнения связности. Дифференцирование системы (3.4) дает

т. е.

Матрица получается из матрицы транспозицией и переменой знака.