3. Примеры.

1° Преобразования по принципу двойственности. Мы называем так преобразование первого класса, определенное соотношением, линейным по (х, у, z) и , которое мы запишем в виде

где линейные многочлены по . Точке пространства и плоскостям, проходящим через эту точку, соответствуют плоскость в и точки этой плоскости и обратно. Образ поверхности, рассматриваемой как геометрическое место точек, в одном из пространств является в другом пространстве огибающей плоскостей.

Общий метод дает прежде всею для определения уравнения

Определитель системы (3.1) и (3.2) по отличен от нуля, и мы должны поэтому иметь чтобы соотношение (3.1) определило преобразование касания.

Установив это, находим

Мы получим затем разрешая эту систему. Чтобы она была совместна, необходимо, чтобы четыре выражения были линейно независимы, и проективное преобразование будет тогда невырожденным. Но преобразование, определенное уравнением

элементов касания пространства в элементы касания пространства можно интерпретировать как преобразование взаимными полярами по отношению к сфере

Итак, всякое преобразование по принципу двойственности есть произведение преобразования с помощью взаимных поляр на проективное преобразование.

2° Преобразование Ли. Среди преобразований второго класса простейшими являются преобразования, определяемые двумя билинейными соотношениями Точке одного пространства соответствует прямая в другом пространстве, и когда точка изменяется, прямая - образ описывает комплекс. Пусть — комплекс прямых, образов точек пространства аналогичный комплекс в Прямая образ точки из в получается, если взять пересечения плоскостей, определенных двумя нашими уравнениями. Но эти плоскости находятся в проективном соответствии, так как уравнения линейны по Пересечения пар этих плоскостей, проходящих через точку из образуют конус второго порядка (действительно прямые, по которым каждая пара пересекает фиксированную плоскость, будут находиться в проективном соответствии, следовательно, геометрическое место точек их пересечения есть коническое сечение). То же рассуждение применимо к комплексу К. Следовательно, два комплекса к будут вообще комплексами второго порядка, и конус комплекса, проходящий через точку одного из пространств, будет геометрическим местом прямых образов точек другого пространства, расположенных на прямой образе вершины конуса.

Может случиться, что один из комплексов К или (или оба) вырождается в линейный комплекс; тогда конус комплекса сводится к плоскости.

Когда один из комплексов, например К, линейный, а кроме того, есть комплекс изотропных прямых, то мы получим преобразование Ли.

Будем исходить из некоторой прямой пространства ей соответствует в линейчатая поверхность геометрическое место изотропных прямых. Прямые комплекса проходящие через одну и ту же точку прямой суть образы точек одной и той же изотропной прямой из Пусть другая точка прямой и пр — две прямые из расположенные в одной и той же плоскости, проходящей через тогда образ точки есть изотропная прямая, имеющая общую точку с образами тип, так как каждая из прямых и пр есть образ точки из

Когда при фиксированном точка пробегает прямую прямые все время принадлежат поскольку линейный комплекс. Значит, изотропная прямая - образ точки встречает все образующие поверхности Поэтому имеет две системы прямолинейных образующих, причем каждая из систем образующих состоит из изотропных прямых; следовательно, есть сфера.

Итак, образ прямой пространства и ее элементов касания есть сфера и ее элементы касания в

Заметим, что если прямой из соответствует сфера в то сфере будут соответствовать, вообще, две прямых в Е: прямая и геометрическое место ранее описанных точек которое также является прямой.

Говорят, что преобразование Ли переводит прямые в сферы. В этой форме важность этого преобразования очевидна: оно сводит геометрию сфер к геометрии прямых, и наоборот. Оно преобразует линейчатую поверхность в огибающую семейства сфер, две пересекающиеся прямые в две касательные сферы, так как такие прямые имеют общий элемент касания, состоящий из общей точки двух прямых и плоскости, их содержащей. Оно переводит, следовательно, развертывающуюся поверхность в огибающую семейства сфер, таких, что каждая из них касается бесконечно близкой сферы. Характеристические окружности будут иметь нулевой радиус, кривая, описанная их центрами, будет эвольвентой геометрического места С центров сфер, следовательно, это будет ортогональная траектория образующих развертывающейся поверхности с ребром возврата С.

В качестве направляющих уравнений преобразования Ли можно взять уравнения

Применение общего метода приводит к соотношениям

Образ прямой

есть сфера

3° Дилатация. Это преобразование определено единственным направляющим уравнением

где R постоянно. Уравнения запишутся здесь в виде

Они показывают, что поверхность и ее образ имеют в соответствующих точках одну и ту же нормаль. Направляющее уравнение показывает тогда, что получается, если отложить на нормалях к постоянную длину Итак, поверхность преобразуется в две поверхности, и мы получаем вновь конфигурацию параллельных поверхностей (предыдущая глава, § 4)

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)