5. Ангармоническое отношение четырех точек.

Вернемся к формулам (4.9) и заметим, что они отличаются от формул (3.1) только наличием формы но условия интегрируемости для

форм и не изменятся. Эти формы будут, следовательно, инвариантными формами группы, изоморфной томографической группе одного переменного, которая будет группой преобразований конического сечения в себя. Следовательно, начиная с четвертого порядка, можно так ввести параметр на кривой С, что совокупность преобразований, позволяющих переходить от одного из реперов четвертого порядка к другому, порождает томографическое преобразование этого параметра. Чтобы найти его, достаточно проинтегрировать систему (4.9), где следует положить таким образом, мы получаем коническое сечение, у которого заменой главного параметра надо найти представление вида (3.7) (положив, например, в первом столбце параметр который таким образом вводится, отвечает нашим требованиям.

Внесем сделанные изменения в уравнения (4.9); мы получим такую параметризацию кривой С, что ангармоническое отношение значений параметра которые соответствуют четырем выбранным точкам на кривой С, будет инвариантом четвертого порядка: ангармоническим отношением этих четырех точек.

Мы можем выбрать репер четвертого порядка, такой, что так как эти значения соответствуют частному представлению соприкасающегося конического сечения; отсюда вытекает, что

Рис. 45.

Для конических сечений имеем откуда получаем уравнение соприкасающегося конического сечения в точке