9. Общая теория погруженных многообразий.

Рассмотрим многообразие погруженное в многообразие имеющее в некоторой точке обыкновенный элемент касания; в окрестности этой точки элементы касания будут также обыкновенными, ибо, как мы видели, чтобы элемент касания был особым, необходимо, чтобы его координаты удовлетворяли некоторым равенствам; к каждой точке окрестности мы присоединим репер Френе

соответствующего элемента касания, или, что то же, соответствующее преобразование группы

Относительные компоненты инфинитезимального перемещения репера совокупности будут дифференциальными формами с переменными чтобы не усложнять обозначений, мы будем писать

Поскольку формы инвариантны относительно преобразований группы О, формы будут одними и теми же для двух равных многообразий; верно и обратное, в силу первой теоремы § 4. Таким образом, мы имеем первую теорему равенства: чтобы два многообразия допускающие только обыкновенные элементы касания, были равными, необходимо и достаточно, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между при котором

Поэтому формы называются инвариантными линейными дифференциальными формами многообразия Среди них линейно независимых; действительно, их не может быть ни меньше чем поскольку являются независимыми переменными, ни больше чем поскольку они содержат только дифференциалов: Допустим для определенности, что линейно независимы, а остальные форм являются линейными комбинациями предыдущих, коэффициенты в которых будут или постоянными (не зависящими от многообразий), или инвариантами многообразия. В силу предыдущего результата эти инварианты образуют полную систему инвариантов, достаточных, чтобы характеризовать многообразие, если известны формы Всякая инвариантная линейная дифференциальная форма на многообразии будет линейной комбинацией форм с коэффициентами из инвариантов» Если на многообразии задано скалярное поле можно написать, поскольку формы независимы,

здесь функции называются инвариантными частными производными функции поскольку является инвариантом, они тоже будут инвариантами.

Так как точки многообразия V зависят от параметров, то существует не более независимых инвариантов; мы сейчас увидим, как можно определить число независимых инвариантов.

Рассмотрим сначала соотношения

среди инвариантов будет некоторое число независимых; если их будет то незачем идти дальше. В противоположном случае инвариантные частные производные тех инвариантов, которые были независимыми, могут нам дать новые инварианты и эту операцию надо продолжать до тех пор, пока мы либо получим независимых инвариантов, либо же обнаружим, что инвариантные частные производные уже полученных независимых инвариантов будут функциями от этих последних. Конечным числом операций мы придем, таким образом, к независимым инвариантам, которые получаются из координат элементов касания порядка

Допустим сначала, что многообразие может быть параметризовано посредством независимых инвариантов, и мы предположим, что речь идет в точности о параметрах Формы будут инвариантными, и мы будем иметь тогда соотношения вида

где известные функции: инвариантные частные производные от ; они вводят инварианты порядка

Система (9.2) относительно форм допускает одно, и только одно, решение, так как формы независимы; знание величин позволяет, следовательно, вычислить эти формы; соотношения (9.1) дают затем другие формы Таким образом:

Многообразие V с независимыми инвариантами определяется заданием соотношений, которые существуют между инвариантами до порядка где означает наибольший порядок независимых инвариантов.

Число допускает минимум, который в общем случае достигается; соответствующие многообразия называются тогда обыкновенными. Чтобы число превосходило этот минимум, должны удовлетворяться некоторые условия в виде равенств между этими инвариантами; многообразия, для которых это имеет место, называются полусингулярными.

Перейдем теперь к случаю, когда мы будем обозначать независимых инвариантов через через остальные переменные реперирования многообразия причем если нужно будет подчеркнуть различные роли, которые играют эти переменные, то мы будем писать

Формы удовлетворяют соотношениям вида (9.1) и (9.2); единственная разница состоит в том, что функции зависят

только от и в соотношениях (9.2) индекс а меняется от нуля до

Формы удовлетворяют уравнению структуры (6.2) группы принимая во внимание соотношения (9.1), можно привести эти уравнения к виду

где коэффициенты являются функциями от . Если сделать замену форм

то непосредственно видно, что формы удовлетворяют системе того же вида:

В силу (9.2) мы можем, например, положить

Рассмотрим теперь второе многообразие независимыми инвариантами другими переменными координатами на нем будут пусть на как на многообразии

(функции те же самые, что и на многообразии Положим теперь и рассмотрим систему Пфаффа

где формы определяются равенствами (9.5). Из равенств (9.4) получаем

Система (9.6), следовательно, вполне интегрируема, и ее общий интеграл можно записать в сжатой форме:

где параметры являются произвольными постоянными.

Но система (9.6) эквивалентна системе

из уравнений (9.1) следует теперь, что между точками многообразий и V существует взаимно однозначное соответствие, приводящее к равенству их инвариантных форм; в силу условия (9.7) это соответствие зависит от параметров. Беря, в частности, многообразие V тождественным многообразию получаем отсюда, что многообразие сохраняется подгруппой группы параметрами. Эти многообразия называются особенными относительно группы в их совокупности можно еще отличить полусингулярные многообразия. Всякая подгруппа действующая транзитивно на точках многообразия порождает особенные многообразия; геометрическое место образов точки при преобразованиях подгрупп образует многообразие измерений, поэтому собрание таких многообразий, зависящее от параметров, образует многообразие размерности особенное относительно группы

Заметим, наконец, что для уравнения структуры (9.3) исчезают.

Особые многообразия дают место аналогичным соображениям.

Мы сформулируем полученные выше основные результаты в виде теоремы:

Теорема равенства. Для того чтобы в многообразии снабженном структурой данной группы два многообразия измерений и параметризованные, посредством были равными, необходимо и достаточно, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между параметрами и (итакое, что:

1° или их инвариантные дифференциальные формы будут равны:

2° или их инварианты до порядка, на единицу большего того при котором появляется наибольшее число независимых инвариантов, будут связаны одной и той же системой соотношений.

Мы ограничимся случаем неособенных многообразий и перейдем к теоремам существования.

Обратимся сначала к условиям существования неособенного многообразия допускающего в качестве инвариантных форм заданных форм переменными Прежде всего необходимо, чтобы они удовлетворяли уравнениям (6.2); тогда в силу результата, полученного в § 6 (перед замечанием), существует семейство реперов, зависящее от параметров, относительными компонентами инфинитезимального перемещения которых будут эти семейства получаются одно из другого преобразованием группы.

Указанный результат еще не обеспечивает того, чтобы формы были относительными компонентами инфинитезимальных перемещений репера Френе некоторого многообразия чтобы выразить это требование, допустим, как выше, что формы независимы, и напишем соотношения (9.1); вводя их в уравнения (6.2), мы заметим, что эти последние должны приводиться к системе (9.3), что даст нам первую систему соотношений между функциями ; другая система соотношений получается внешним дифференцированием уравнений (9.3) и пишется в виде

Если формы удовлетворяют всем этим условиям, то, рассматривая репер присоединенный к неподвижной точке и семейство реперов компонентами инфинитезимальных перемещений которых будут мы найдем, что геометрическое место точек будет многообразием семейство реперов которого будет семейством реперов Френе; таким образом, справедлива следующая теорема:

Теорема существования Предположим заданными линейно независимых дифференциальных форм от переменных на функций (и); рассмотрим форм заданных равенствами (9.1), и допустим, что две системы условий интегрируемости, написанные выше, будут удовлетворены. Тогда все формы будут относительными компонентами инфинитезимальных перемещений репера Френе многообразия определяемого с точностью до преобразований группы

Вернемся теперь к инвариантам и соотношениям (9.2); они напишутся, если ввести инвариантные производные, в виде

Мы видели, что они позволяют вычислить формы имеем поэтому следующий результат:

Теорема существования II. Чтобы существовало неособенное многообразие определенное с точностью до преобразований группы допускающее переменные в качестве независимых инвариантов, инвариантные производные которых по отношению к инвариантным формам даются уравнениями (9.9), необходимо и достаточно, чтобы формы и формы которые получаются посредством (9.1), удовлетворяли условиям интегрируемости из теоремы

Замечания. 1° Полученные результаты — локальные; их вывод предполагает существование и непрерывность частных производных до достаточно высокого порядка, чтобы обеспечить не только смысл проведенных рассуждений, но и возможность применения теоремы Фробениуса.

Мы отказываемся решать проблему равенства для многообразий которые не допускают таких представлений.

2° На заданном многообразии могут существовать точки, образующие подмногообразия меньшей размерности, элементы касания которых сингулярны. Наши результаты не приложимы в окрестности таких точек, и возможность продолжения через эти подмногообразия следует внимательно рассматривать в каждом случае.

3° Существование особенных многообразий связано с существованием подгрупп группы вполне возможен случай, когда они не будут существовать для

4° Глава посвящена изучению частных случаев проблемы касания, которые вытекают из соображений предыдущего параграфа и состоят в следующем. Пусть даны два многообразия и допустим, что их точки совпадают. В таком случае говорят, что два многообразия будут иметь в этой точке касание порядка если их элементы касания порядка будут равны, тогда как их элементы касания порядка не равны (или не существуют).

5° Мы встретимся также с проблемой наложимости. Два многообразия и называются наложимыми порядка если существуют:

a) взаимно однозначное соответствие между параметрами и и

b) преобразование принадлежащее группе и переводящее не только и в его образ , но также элемент касания порядка многообразия V в такой же элемент многообразия V, причем координаты соответствующих точек отличаются на бесконечно малые не ниже порядка по отношению к приращениям параметров и (для достаточно большого числа проблема наложимости сводится к проблеме равенства).