Главная > Курс локальной дифференциальной геометрии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9. Общая теория погруженных многообразий.

Рассмотрим многообразие погруженное в многообразие имеющее в некоторой точке обыкновенный элемент касания; в окрестности этой точки элементы касания будут также обыкновенными, ибо, как мы видели, чтобы элемент касания был особым, необходимо, чтобы его координаты удовлетворяли некоторым равенствам; к каждой точке окрестности мы присоединим репер Френе

соответствующего элемента касания, или, что то же, соответствующее преобразование группы

Относительные компоненты инфинитезимального перемещения репера совокупности будут дифференциальными формами с переменными чтобы не усложнять обозначений, мы будем писать

Поскольку формы инвариантны относительно преобразований группы О, формы будут одними и теми же для двух равных многообразий; верно и обратное, в силу первой теоремы § 4. Таким образом, мы имеем первую теорему равенства: чтобы два многообразия допускающие только обыкновенные элементы касания, были равными, необходимо и достаточно, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между при котором

Поэтому формы называются инвариантными линейными дифференциальными формами многообразия Среди них линейно независимых; действительно, их не может быть ни меньше чем поскольку являются независимыми переменными, ни больше чем поскольку они содержат только дифференциалов: Допустим для определенности, что линейно независимы, а остальные форм являются линейными комбинациями предыдущих, коэффициенты в которых будут или постоянными (не зависящими от многообразий), или инвариантами многообразия. В силу предыдущего результата эти инварианты образуют полную систему инвариантов, достаточных, чтобы характеризовать многообразие, если известны формы Всякая инвариантная линейная дифференциальная форма на многообразии будет линейной комбинацией форм с коэффициентами из инвариантов» Если на многообразии задано скалярное поле можно написать, поскольку формы независимы,

здесь функции называются инвариантными частными производными функции поскольку является инвариантом, они тоже будут инвариантами.

Так как точки многообразия V зависят от параметров, то существует не более независимых инвариантов; мы сейчас увидим, как можно определить число независимых инвариантов.

Рассмотрим сначала соотношения

среди инвариантов будет некоторое число независимых; если их будет то незачем идти дальше. В противоположном случае инвариантные частные производные тех инвариантов, которые были независимыми, могут нам дать новые инварианты и эту операцию надо продолжать до тех пор, пока мы либо получим независимых инвариантов, либо же обнаружим, что инвариантные частные производные уже полученных независимых инвариантов будут функциями от этих последних. Конечным числом операций мы придем, таким образом, к независимым инвариантам, которые получаются из координат элементов касания порядка

Допустим сначала, что многообразие может быть параметризовано посредством независимых инвариантов, и мы предположим, что речь идет в точности о параметрах Формы будут инвариантными, и мы будем иметь тогда соотношения вида

где известные функции: инвариантные частные производные от ; они вводят инварианты порядка

Система (9.2) относительно форм допускает одно, и только одно, решение, так как формы независимы; знание величин позволяет, следовательно, вычислить эти формы; соотношения (9.1) дают затем другие формы Таким образом:

Многообразие V с независимыми инвариантами определяется заданием соотношений, которые существуют между инвариантами до порядка где означает наибольший порядок независимых инвариантов.

Число допускает минимум, который в общем случае достигается; соответствующие многообразия называются тогда обыкновенными. Чтобы число превосходило этот минимум, должны удовлетворяться некоторые условия в виде равенств между этими инвариантами; многообразия, для которых это имеет место, называются полусингулярными.

Перейдем теперь к случаю, когда мы будем обозначать независимых инвариантов через через остальные переменные реперирования многообразия причем если нужно будет подчеркнуть различные роли, которые играют эти переменные, то мы будем писать

Формы удовлетворяют соотношениям вида (9.1) и (9.2); единственная разница состоит в том, что функции зависят

только от и в соотношениях (9.2) индекс а меняется от нуля до

Формы удовлетворяют уравнению структуры (6.2) группы принимая во внимание соотношения (9.1), можно привести эти уравнения к виду

где коэффициенты являются функциями от . Если сделать замену форм

то непосредственно видно, что формы удовлетворяют системе того же вида:

В силу (9.2) мы можем, например, положить

Рассмотрим теперь второе многообразие независимыми инвариантами другими переменными координатами на нем будут пусть на как на многообразии

(функции те же самые, что и на многообразии Положим теперь и рассмотрим систему Пфаффа

где формы определяются равенствами (9.5). Из равенств (9.4) получаем

Система (9.6), следовательно, вполне интегрируема, и ее общий интеграл можно записать в сжатой форме:

где параметры являются произвольными постоянными.

Но система (9.6) эквивалентна системе

из уравнений (9.1) следует теперь, что между точками многообразий и V существует взаимно однозначное соответствие, приводящее к равенству их инвариантных форм; в силу условия (9.7) это соответствие зависит от параметров. Беря, в частности, многообразие V тождественным многообразию получаем отсюда, что многообразие сохраняется подгруппой группы параметрами. Эти многообразия называются особенными относительно группы в их совокупности можно еще отличить полусингулярные многообразия. Всякая подгруппа действующая транзитивно на точках многообразия порождает особенные многообразия; геометрическое место образов точки при преобразованиях подгрупп образует многообразие измерений, поэтому собрание таких многообразий, зависящее от параметров, образует многообразие размерности особенное относительно группы

Заметим, наконец, что для уравнения структуры (9.3) исчезают.

Особые многообразия дают место аналогичным соображениям.

Мы сформулируем полученные выше основные результаты в виде теоремы:

Теорема равенства. Для того чтобы в многообразии снабженном структурой данной группы два многообразия измерений и параметризованные, посредством были равными, необходимо и достаточно, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между параметрами и (итакое, что:

1° или их инвариантные дифференциальные формы будут равны:

2° или их инварианты до порядка, на единицу большего того при котором появляется наибольшее число независимых инвариантов, будут связаны одной и той же системой соотношений.

Мы ограничимся случаем неособенных многообразий и перейдем к теоремам существования.

Обратимся сначала к условиям существования неособенного многообразия допускающего в качестве инвариантных форм заданных форм переменными Прежде всего необходимо, чтобы они удовлетворяли уравнениям (6.2); тогда в силу результата, полученного в § 6 (перед замечанием), существует семейство реперов, зависящее от параметров, относительными компонентами инфинитезимального перемещения которых будут эти семейства получаются одно из другого преобразованием группы.

Указанный результат еще не обеспечивает того, чтобы формы были относительными компонентами инфинитезимальных перемещений репера Френе некоторого многообразия чтобы выразить это требование, допустим, как выше, что формы независимы, и напишем соотношения (9.1); вводя их в уравнения (6.2), мы заметим, что эти последние должны приводиться к системе (9.3), что даст нам первую систему соотношений между функциями ; другая система соотношений получается внешним дифференцированием уравнений (9.3) и пишется в виде

Если формы удовлетворяют всем этим условиям, то, рассматривая репер присоединенный к неподвижной точке и семейство реперов компонентами инфинитезимальных перемещений которых будут мы найдем, что геометрическое место точек будет многообразием семейство реперов которого будет семейством реперов Френе; таким образом, справедлива следующая теорема:

Теорема существования Предположим заданными линейно независимых дифференциальных форм от переменных на функций (и); рассмотрим форм заданных равенствами (9.1), и допустим, что две системы условий интегрируемости, написанные выше, будут удовлетворены. Тогда все формы будут относительными компонентами инфинитезимальных перемещений репера Френе многообразия определяемого с точностью до преобразований группы

Вернемся теперь к инвариантам и соотношениям (9.2); они напишутся, если ввести инвариантные производные, в виде

Мы видели, что они позволяют вычислить формы имеем поэтому следующий результат:

Теорема существования II. Чтобы существовало неособенное многообразие определенное с точностью до преобразований группы допускающее переменные в качестве независимых инвариантов, инвариантные производные которых по отношению к инвариантным формам даются уравнениями (9.9), необходимо и достаточно, чтобы формы и формы которые получаются посредством (9.1), удовлетворяли условиям интегрируемости из теоремы

Замечания. 1° Полученные результаты — локальные; их вывод предполагает существование и непрерывность частных производных до достаточно высокого порядка, чтобы обеспечить не только смысл проведенных рассуждений, но и возможность применения теоремы Фробениуса.

Мы отказываемся решать проблему равенства для многообразий которые не допускают таких представлений.

2° На заданном многообразии могут существовать точки, образующие подмногообразия меньшей размерности, элементы касания которых сингулярны. Наши результаты не приложимы в окрестности таких точек, и возможность продолжения через эти подмногообразия следует внимательно рассматривать в каждом случае.

3° Существование особенных многообразий связано с существованием подгрупп группы вполне возможен случай, когда они не будут существовать для

4° Глава посвящена изучению частных случаев проблемы касания, которые вытекают из соображений предыдущего параграфа и состоят в следующем. Пусть даны два многообразия и допустим, что их точки совпадают. В таком случае говорят, что два многообразия будут иметь в этой точке касание порядка если их элементы касания порядка будут равны, тогда как их элементы касания порядка не равны (или не существуют).

5° Мы встретимся также с проблемой наложимости. Два многообразия и называются наложимыми порядка если существуют:

a) взаимно однозначное соответствие между параметрами и и

b) преобразование принадлежащее группе и переводящее не только и в его образ , но также элемент касания порядка многообразия V в такой же элемент многообразия V, причем координаты соответствующих точек отличаются на бесконечно малые не ниже порядка по отношению к приращениям параметров и (для достаточно большого числа проблема наложимости сводится к проблеме равенства).

1
Оглавление
email@scask.ru