Глава II. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ; ТРИЭДР ФРЕНЕ

1. Триэдр Френе.

Рассмотрим в пространстве в прямоугольных координатах элемент поверхности

В качестве триортогональных триэдров порядка 1, связанных с точкой мы выберем триэдры с началом в для которых плоскость касательна к поверхности. Имеем

Возвращаясь к уравнениям (1.1), (1.2) и (1.3) предыдущей главы, мы находим из них

откуда, в силу теоремы Картана ,

Остаются только один вторичный параметр и одна вторичная компонента . С помощью внешнего дифференцирования получаем

Формы в скобках являются линейными комбинациями Поэтому, если главные параметры зафиксированы, а изменяются только вторичные параметры, то эти формы обращаются в нуль, что дает

откуда

Итак, имеем два инварианта второго порядка

называется средней кривизной, -полной кривизной. Полагая

находим

Итак, при вариации вторичного параметра величина подвергается переносу. Мы определим триэдр порядка 2 (триэдр Френе), полагая так что

инварианты второго порядка — называются главными кривизнами поверхности в точке Направления называются главными направлениями (или направлениями кривизны), формы инвариантные линейные формы. Полагая далее

и вводя инвариантные частные производные некоторого инварианта по отношению к т. е. записывая

находим

Уравнения структуры дают условия интегрируемости

Два первых соотношения известны под названием формул Кодацци, третье — под названием уравнения Гаусса.

Формулы, дающие перемещения триэдра Френе, имеют вид

где через обозначены векторы векторы главных направлений и вектор нормален к поверхности).