4. Сопряженные направления. Сопряженные семейства кривых.

Для двух направлений и форма, полярная для квадратичной формы II

в силу соотношений (1.2) в очевидных обозначениях представляет собой произведения

Соотношение, полученное приравниванием к нулю этой полярной формы

определяет инволюцию направлений и сдвоенными направлениями которой служат асимптотические направления; оно показывает, следовательно, что эти направления сопряжены относительно асимптотических направлений (т. е. образуют вместе с асимптотическими направлениями гармонический пучок); тогда говорят, что направления и будут сопряженными.

В параболической точке одно из направлений или всегда совпадает со сдвоенным асимптотическим направлением, и инволюция (4.1) вырождается.

Соотношение (4.1) можно записать также в виде

мы сейчас дадим ему новую интерпретацию.

Рассмотрим на поверхности линию С, касательную к направлению и развертывающуюся поверхность, описанную около поверхности, вдоль этой кривой. Уравнение касательной плоскости будет

чтобы получить ее характеристическую прямую, надо присоединить к этому уравнению соотношение, получаемое дифференцированием по параметру, который служит для определения положения точки кривой этот параметр будет встречаться в поэтому получаем

или

Следовательно, характеристика проходит через точку если обозначить через ее направление, то мы должны иметь

соотношения, которые показывают, что есть направление в касательной плоскости, сопряженное с направлением Это направление зависит только от касательной к линии С, и мы видим, что между направлениями имеется взаимность.

Зададимся теперь на поверхности таким однопараметрическим семейством линий что через каждую точку поверхности проходит одна линия этого семейства; пусть

где С означает произвольную постоянную будет уравнением семейства

В каждой точке поверхности касательная к линии семейства имеет сопряженное направление Следовательно, на поверхности мы имеем поле направлений, и существует семейство кривых, которое в каждой ее точке касается направлений этого поля. Это семейство называется семейством, сопряженным семейству его дифференциальное уравнение получается исключением из уравнений (4.1) и

находим немедленно

Семейство асимптотических линий будет сопряженным самому себе.

Замечания. 1° На развертывающейся поверхности понятие сопряженного семейства не представляет интереса, так как либо семейство есть семейство прямолинейных образующих, и тогда оно допускает в качестве сопряженного семейства любое другое семейство линий, либо семейство не совпадает с семейством прямолинейных образующих, и тогда оно допускает в качестве сопряженного семейства семейство прямолинейных образующих.

2° Чтобы координатные линии образовывали два сопряженных семейства, необходимо и достаточно, чтобы обращаясь к уравнениям (3), мы видим, что это выражается требованием того, чтобы вектор лежал в касательной плоскости.

Это имеет место, в частности, если вектор тождественно равен нулю, т. е. для таких поверхностей, что

называемых поверхностями переноса. Мы видим, что они получаются переносом кривой (получаемой переносом из кривой вдоль линии (получаемой из кривой или же наоборот, переносом линии вдоль кривой Легко доказывается, что такая поверхность будет также геометрическим местом середин отрезков соединяющих произвольную точку кривой с какой-нибудь точкой кривой

Рис. 37.

Рис. 38.

3° Отступление по поводу конгруэнции. Мы видели что прямые конгруэнции в общем случае касаются в точках и двух фокальных полостей и и что на каждой полости (если она не вырождается), скажем на существуют два семейства кривых: первое образовано ребрами возврата развертывающихся поверхностей конгруэнции описанных около второе образовано линиями касания развертывающихся поверхностей конгруэнции, имеющих ребра возврата на поверхности Пусть кривые каждого из этих семейств, проходящие через точку поверхности Касательная к линии есть прямая конгруэнции, проходящая через точку С другой стороны, если перемещается по то прямые допускают огибающую, которая лежит на поверхности характеристика касательной плоскости в точке вдоль будет, следовательно, прямой и значит, два направления, касательные соответственно к линиям в точке будут сопряжены на поверхности Отсюда вытекает, что два семейства кривых сопряжены на поверхности то же самое будет иметь место для соответствующих семейств поверхности

4° Сопряженные семейства Кёнигса. Вместе с поверхностью зададимся произвольной прямой конгруэнция Кёнигса, одна фокальная полость которой сводится к прямой А, а другая совпадает с поверхностью имеет развертывающимися поверхностями плоскости, проходящие через прямую А, и конусы, описанные около поверхности с вершинами на прямой А.

В силу вышесказанного на поверхности семейство плоских сечений, проходящих через прямую А, и семейство линий касания конусов, описанных около поверхности и имеющих вершины на прямой А, образуют два сопряженных семейства, которые получаются без интегрирования (сопряженные семейства Кёнигса).

На всякой поверхности можно, следовательно, получить без интегрирования совокупность сопряженных семейств, зависящих от четырех параметров (число параметров, от которых зависит прямая А).