5. Вычисление инвариантных линейных форм и кривизн.
Исходя из представления (1.1) поверхности 
требуется найти элементы редукции, введенные выше.
Возвращаясь к уравнениям (1.8), заметим, что 
Это две квадратичные формы относительно дифференциалов, введенные Гауссом в теорию поверхностей и называемые с тех пор основными квадратичными формами; их мы и вычислим в первую очередь.
Кривая на поверхности 
определяется заданием 
в виде функций одного и того же переменного. Если эти функции имеют непрерывные первые производные, то кривая спрямляема и дифференциал ее дуги 
задается формулой 
Исходя из уравнений (1.1), имеем
откуда
Мы положим
где
Часто употребляемая величина 
определяется равенством
причем для действительных поверхностей берется положительное значение корня. В анализе доказывают, что площадь области О поверхности 
образа квадрируемой области А плоскости 
лается интегралом
Легко доказать, что дифференциальный элемент
или элемент площади, является инвариантом. Действительно, замена параметров 
параметрами 
дает
откуда
и, наконец,
Вектор 
нормален к поверхности 
Условившись выбирать направление вектора 
совпадающим с направлением этого векторного произведения, что является соглашением об ориентации поверхности 
имеем
Что касается второй основной квадратичной формы, то заметим прежде всего, что из соотношения 
получаем дифференцированием
откуда
Дифференцируя соотношения
находим
Записав
находим, исходя из (5.6),
или, используя представление (1.1),
Получив две основные формы, мы определим далее формы 
заметив, что
являются, таким образом, такими значениями параметра р, что форма 
имеет дискриминант, равный нулю, что дает 
откуда прежде всего
Соотношения (5.9) позволяют далее определить 
с точностью до знака. Пусть 
касательные соответственно к кривым 
Выберем направления векторов 
таким образом, что бы триэдр 
был правым триэдром. Тогда знаки 
будут определены. Если мы заменим 
на 
например, 
чтобы триэдр остался правым), то форма II меняет знак, 
также меняют знак.
Рассмотрим теперь две поверхности 
предположим, что можно установить между ними точечное соответствие таким образом, что их основные формы будут равны. Тогда можно найти кривизны 
а далее с точностью до знака определить 
Отсюда следует, что формулы (1.8) будут одинаковы для этих двух поверхностей, при условии замены векторов 
или 
или их обеих на 
или 
, причем одна такая замена эквивалентна симметрии. Итак:
Две поверхности, допускающие одни и те же основные квадратичные формы, равны или симметричны.
Замечание, сделанное относительно знака формы II, позволяет нам также сказать:
Для того чтобы две поверхности 
были равны или симметричны, необходимо и достаточно, чтобы между ними можно было установить взаимно однозначное точечное соответствие, которое отождествляло бы I с и II с 
или 
.
Теорема существования формулируется следующим образом:
Пусть заданы две дифференциальные квадратичные формы 
и II; вычислим 
с помощью (5.10), затем 
с помощью (5.9); если условия интегрируемости (1.7) выполняются, то существует поверхность, определенная с точностью до перемещения и симметрии, допускающая эти формы в качестве основных квадратичных форм.
