4. Касание двух поверхностей.

Рассмотрим две поверхности

имеющие общую точку обыкновенную и достаточно высокого порядка на (5) и (2). Пусть параметрические представления таковы, что

Эти равенства выражают геометрическое свойство, которое называется касанием порядка не ниже поверхностей (5) и в точке Если при этом нельзя найти таких представлений, что написанные выше равенства имеют место также для то говорят, что поверхности имеют в касание порядка .

Определение точного порядка касания производится по уже изложенным принципам.

Предположим, что наши представления позволяют констатировать касание порядка по крайней мере на (2). Обозначим временно через их и переменные и к соответственно и посмотрим, нельзя ли найти функции

таким образом, чтобы можно было убедиться в касании порядка выше Мы имеем

где ненаписанные члены содержат частные производные вектора порядка выше 1, коэффициенты при которых — произведения частных производных функций их также порядка выше 1, или или Следовательно, если мы желаем сохранить равенства (4.1), нужно положить в точке

Равенства (4.2) показывают тогда, что касание порядка может иметь место только в том случае, если

где являются скалярами, и эти условия также являются достаточными. Действительно, пусть для простоты замена переменных вида

выявит касание порядка по крайней мере . В результате конечного числа таких операций порядок касания будет определен, если, конечно, и (2) различны.

Предположим, что поверхности имеют касание порядка , причем параметризация допустима, и рассмотрим две кривые

проходящие через первая на (5), вторая на предполагая, что обладают непрерывными производными до достаточно высокого порядка в окрестности значения соответствующего точке касания, и

Формулы для вычисления производных сложных функций показывают, что эти две кривые имеют в касание по крайней мере порядка иначе говоря, всякая кривая, проходящая на через и имеющая обыкновенной точкой достаточно высокого порядка имеет с касание по крайней мере порядка Положим теперь

где X и обозначают константы и Мы видим, что

и если касание не имеет порядка то по крайней мере один из коэффициентов при есть вектор, не лежащий в касательной плоскости к Можно найти значения такие.

что прямая имеет единственное предельное направлейие, не расположенное в этой плоскости, когда стремятся к Соответствующая кривая имеет с (5) касание в точности порядка Итак:

Порядок касания двух поверхностей есть наименьший порядок касания кривой, лежащей на одной поверхности (и проходящей через точку касания), с другой поверхностью при условии, что эта кривая имеет в точке касания обыкновенную точку достаточно высокого порядка.

Можно также определить касание с помощью кратчайшего расстояния от точки поверхности до (5). Как и раньше, проверяется, что существует только одна точка на (5), находящаяся на минимальном расстоянии от если достаточно близко к

Рис. 16.

Предыдущие рассуждения показывают, что это кратчайшее расстояние имеет порядок малости не ниже относительно и что на существуют кривые, вдоль которых оно в точности порядка Итак:

Порядок касания поверхностей есть уменьшенный на единицу наименьший порядок малости кратчайшего расстояния от точки на (2) до относительно когда стремится к вдоль произвольной кривой поверхности имеющей в обыкновенную точку достаточно высокого порядка.

Этот порядок можно вычислить, ставя в соответствие точке точку на (5), такую, что прямые не допускают никакой предельной прямой в касательной плоскости в точке . В частности, если касательная плоскость в не параллельна можно в окрестности точки (с координатами ) представить в виде

где представляют однородные многочлены по степени которых указаны индексами.

Если тождественно

то в точке мы будем иметь касание по крайней мере порядка Если, кроме того, не тождественный нуль, то мы будем иметь касание в точности порядка

Полученные результаты позволяют непосредственно высказать следующие теоремы транзитивности:

1° Если кривая имеет с поверхностью касание порядка по крайней мере в некоторой точке и если (5) имеет с поверхностью касание по крайней мере порядка то (7) имеет с (2) касание по крайней мере порядка

2° Если поверхность имеет с двумя поверхностями касание порядка по крайней мере в одной и той же точке то имеет с касание порядка по крайней мере

Наконец, порядок касания двух поверхностей сохраняется при точечных преобразованиях типа (2.3).

Задав поверхность и семейство поверхностей, зависящих от достаточного числа параметров, можно определить в точке на (5) соприкасающуюся поверхность заданного семейства. Если это семейство есть семейство плоскостей, то можно получить касание порядка 1: мы получаем снова касательную плоскость. Если это семейство есть семейство квадрик, то можно получить в общем случае касание порядка 2, оно реализуется для семейства квадрик, зависящих от трех параметров (см. часть II, Аффинная геометрия).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)