5. Операции над аффинными тензорами.

Предыдущие определения и результаты позволят нам без труда определить следующие операции над тензорами.

1° Сложение. Умножение на скаляр. В пространстве умножение тензора на скаляр с и сложение двух тензоров ставят в соответствие тензору тензор произведение первого на скаляр с, и двум тензорам к тензор того же вида, называемый их суммой, с компонентами

2° Тензорное умножение. В пространстве

векторы получаются тензорным умножением вектора из на вектор

Это дает следующий результат:

Пусть заданы тензор и тензор Тогда величины

являются компонентами тензора называемого произведением двух предыдущих.

Умножение тензоров, очевидно, есть операция коммутативная и ассоциативная. Умножение тензора на скаляр можно рассматривать как частный случай предыдущей операции, а именно как умножение тензора на тензор валентности нуль.

3° Умножение со свертыванием. Метод, примененный в параграфе 3 для получения результата, сжато выражаемого формулой (3.3), легко обобщается и позволяет утверждать, что если мы зададим тензор и тензор то величины

суть компоненты тензора получается выделением одного из контравариантных индексов, вполне произвольного, у одного из тензоров и выделением одного ковариантного индекса, также произвольного, у другого тензора, после чего для заданных значений других индексов берется сумма произведений компонент этих двух тензоров, для которых выделенные индексы равны. Этот тензор называется свернутым произведением двух тензоров, полученным свертыванием по двум выделенным индексам. Эта операция может быть обобщена: можно выделять некоторое число ковариантных индексов и некоторое число контравариантных индексов в одном тензоре и такие же числа контравариантных индексов и ковариантных индексов в другом тензоре. Так, например, в формуле (3.3) мы выделяли один ковариантный индекс и один контравариантный в каждом из тензоров.

Ниже мы рассмотрим эту операцию с другой точки зрения.

4° Единичный тензор. Свертывание. Рассмотрим величины

Если задана система координат, то эти числа можно рассматривать как компоненты тензора Формулы (4.1) показывают тогда, что во всякой другой системе координат мы имеем

Этот тензор, называемый единичным тензором второй валентности, или символом Кронекера, имеет компоненты, инвариантные относительно замены базиса. Причина первого наименования непосредственно очевидна: умножение со свертыванием этого тензора на контравариантный вектор или на ковариантный вектор дает

т. е. тот же самый вектор. Вообще, мы получаем равенства следующего типа:

Умножая единичный тензор второй валентности раз на себя, получаем единичный тензор валентности

Рассмотрим теперь тензор и выделим один ковариантный индекс и один контравариантный индекс Тогда умножение со свертыванием по этим двум индексам этого тензора на единичный тензор валентности 2 дает

и мы получаем таким образом тензор Эта операция называется свертыванием тензора по индексам полученный тензор называется свернутым тензором.

Конечно, эту операцию можно обобщить и свертывать по ковариантным и контравариантным индексам. Эта операция сводится к умножению со свертыванием по этим системам индексов на единичный тензор валентности Если взять, в частности, тензоры то величийы будут инвариантами.

После того как мы определили умножение тензоров, мы могли бы начать с понятия свертывания (показав при этом прямо, что свертывание порождает новые тензоры) для определения умножения со свертыванием.

Примечание. Сказанное позволяет рассматривать тензоры как операторы. Отметим, в частности, формулы

где заданный тензор Они ставят в соответствие контравариантному или ковариантному вектору вектор того же вида, причем это соответствие линейное. Точно так же формулы

где тензор — тензор дают закон линейного соответствия между контравариантным вектором и ковариантным или наоборот.