11. Сферическое изображение. Третья квадратичная форма поверхности.

Пусть поверхность ; проведем через начало О вектор равный нормали Точка лежит на сфере с центром в точке О и радиусом 1; касательная плоскость к сфере в точке параллельна касательной плоскости к поверхности в точке

Кроме плоскостей и развертывающихся поверхностей, для которых это построение бесполезно, мы получаем таким образом сферическое изображение поверхности взаимно однозначное в окрестности всякой не параболической точки, ибо если не равно нулю, то изображение ( будет полным на сфере вектору касательной плоскости на поверхности в точке

соответствует вектор касательной плоскости сферы в точке

Всякой кривой С, проходящей через точку поверхности соответствует линия на сфере Поскольку развертывающаяся поверхность описанная около поверхности вдоль линии С, и развертывающаяся поверхность А, описанная около сферы вдоль линии соответствуют между собой параллельностью касательных плоскостей, их соответствующие образующие будут параллельны. Между тем, если вектор, лежащий на касательной к линии С, а соответствующий вектор касательной к линии то, поскольку все точки сферы омбилические, направление прямолинейной образующей поверхности (или поверхности ) будет перпендикулярно к вектору имеем, следовательно,

Это новое доказательство и геометрическая интерпретация соотношения сопряженности двух направлений: касательная к линии в точке ортогональна сопряженному направлению касательной к линии С.

Заметим теперь, что наряду с квадратичными формами I и II форма

также инвариантна, т. е. она остается неизменной для всех триэдров первого порядка; эта форма представляет собой т. е. линейный элемент сферы в параметрах сферического изображения поверхности

Принимая, в частности, в качестве репера триэдр Френе, получаем

откуда

это соотношение показывает, что форма III не будет независима от форм I и II и позволяет вычислить ее. Равным образом имеем

что дает с точностью до знака элемент площади сферы и с точностью до знака

Чтобы придать этой формуле смысл, не зависящий от знака кривизны заметим, что, когда направление касательной

плоскости в точке, поворачивается, сопряженное направление поворачивается в том же направлении, если индикатриса в этой точке будет эллипсом; оно поворачивается в обратном направлении, если она будет гиперболой. Но, поскольку вектор ортогонален вектору он, следовательно, вращается в том же направлении, что и вектор в эллиптической точке, и в обратном направлении в гиперболической точке. Отсюда вытекает следующее утверждение. Пусть кривая С поверхности есть граница односвязной области содержащей внутри себя и на границе только эллиптические или только гиперболические точки, и пусть А — образ области также односвязный, с границей образом кривой если линия С обходится в положительном направлении, то линия на сфере будет обходиться также в положительном направлении, если область содержит только эллиптические точки и в противоположном направлении, если область содержит только гиперболические точки.

Дадим приложение формул (11.3); будем употреблять для обозначения элементов, относящихся к сфере, буквы с чертой над ними, так что

формулы

будут эквивалентны формулам

откуда получаем

Поскольку

находим, что

причем направление обхода по линии соответствует положительному направлению обхода по линии С, определенному по установленному правилу. Поэтому доказательство формулы Оссиана Бонне в общем случае может быть сведено в силу (11.3) к случаю сферы, для которой оно получается легко. Кроме того, имеем

это дает интерпретацию двойного интеграла, встречающегося в формуле Оссиана Бонне: этот интеграл при условии (11.3) равн площади сферического изображения области

Замечание. Так как поверхность определяется Двумя квадратичными формами I и II, непосредственно возникает вопрос о возможности определения поверхности какими-либо двумя из трех форм I, II, III.

Задать форму III, значит, задать сферическое изображениё поверхности; таким образом, получаем так называемую задачу сферического изображения.

Многочисленные приложения имеет задача определения поверхности по второй и третьей формам; главные кривизны будут значениями для которых форма р II - III имеет дискриминант, равный нулю; линейные инвариантные формы будут тогда определены с точностью до знака второй из формул (II, 5.1) и формулой (11.1).