8. Конгруэнция нормалей к пространственной кривой.

Множество нормалей к пространственной кривой зависит от двух параметров, а именно от основания нормали на кривой и от ее ориентации в нормальной плоскости. Эти нормали образуют, следовательно, конгруэнцию, которую мы изучим.

а. Полярная поверхность. Одна из фокальных поверхностей конгруэнции нормалей сводится к самой кривой и одно из семейств развертывающихся поверхностей конгруэнции, очевидно, состоит из нормальных плоскостей. Поэтому второй фокальной поверхностью будет огибающая нормальных плоскостей.

Если текущая точка нормальной плоскости кривой в ее точке то уравнение этой плоскости может быть записано в виде

Дифференцируя по , мы получаем

или

Это уравнение плоскости, параллельной спрямляющей плоскости и пересекающей нормальную плоскость вдоль ее характеристической прямой. Но плоскость (8.2) пересекает главную нормаль как раз в точке С с абсциссой на т. е. С есть не что иное, как центр кривизны. Характеристической прямой нормальной плоскости будет, таким образом, прямая, параллельная бинормали, проходящая через; центр кривизны. Эта прямая называется полярной прямой кривой в ее точке

Когда точка описывает кривую полярная прямая описывает, развертывающуюся поверхность, которая является второй фокальной поверхностью конгруэнции нормалей к и называется полярной поверхностью кривой

Будем искать точку , в которой полярная прямая касается огибающей. Геометрическое место точек будет ребром возврата полярной поверхности. Эти точки определены уравнениями (8.1), (8.2) и уравнением, полученным из (8.2) дифференцированием по а именно

откуда

Отрезок, отсекаемый точкой на полярной прямой, считая от С в направлении равен

Вот еще одно интересное геометрическое свойство точки . Будем искать сферу, соприкасающуюся к кривой в точке Мы видели что эта сфера имеет с касание порядка по крайней мере . Пусть ее центр, текущая точка. Ее уравнение запишется в виде

Уравнения, которые получаются, если записать, что производные этого уравнения по обращаются в нуль до третьего порядка, определяют точку Мы находим

С точностью до обозначений эти уравнения совпадают с (8.1), (8.2) и (8.3). Поэтому точка совпадает с точкой , которая является, таким образом, центром сферы, соприкасающейся к кривой в точке .

b. Эволюты кривой. Будем теперь искать второе семейство развертывающихся поверхностей конгруэнции нормалей к Эти поверхности опираются на и имеют ребро возврата на полярной поверхности. Пусть

единичный вектор нормали в точке образующий ориентированный угол Текущая точка этой нормали определена формулой

где скаляр. Чтобы найти развертывающуюся поверхность, проходящую через эту нормаль, мы попытаемся определить и как функции от так, чтобы вектор был коллинеарен вектору

Но

Вектор

есть единичный вектор нормальной плоскости, образующий с угол Векторы образуют поэтому триортогональный триэдр, и написанное выше равенство запишется в виде

Для того чтобы вектор был коллинеарен вектору необходимо и достаточно, чтобы

Так как из первого условия следует, что можно написать

Условие указывает, что точка должна находиться на полярной поверхности, как мы это уже знали. Второе условие дает закон, по которому должны быть объединены нормали к чтобы образовать развертывающуюся поверхность. Интегрированием получаем

Семейство развертывающихся поверхностей зависит от параметра Если мы знаем одну из этих поверхностей, мы получим из нее все остальные, заставляя образующие ее нормали поворачиваться на произвольный фиксированный угол, каждую в той нормальной плоскости к кривой к которой она принадлежит.

Каждая из этих поверхностей имеет ребро возврата, являющееся огибающей нормалей к Эти огибающие суть эволюты кривой которая имеет, таким образом, бесчисленное множество эволют, зависящее от параметра

Когда кривая плоская, следовательно, постоянно для всякой развертывающейся поверхности. Эволюта, рассматриваемая в геометрии на плоскости и расположенная в плоскости кривой, соответствует значению Полярная поверхность в этом

случае есть цилиндр, имеющий ортогональным сечением плоскую эволюту кривой Пространственные эволюты расположены на этом цилиндре; в силу постоянства угла для каждой из них они будут винтовыми линиями на цилиндре.