5. Положение кривой в окрестности точки по отношению к триэдру Серре — Френе. Знак кручения.

В окрестности точки криволинейную абсциссу которой мы предположим равной нулю, мы имеем, при условии существования и непрерывности производных до достаточно высокого порядка,

где индекс указывает, что производные берутся в точке Дифференцируя второе из уравнений (2.3), имеем, с другой стороны,

Выбрав в качестве осей координат те оси, которые определены триэдром Серре—Френе в точке мы получаем из приведенного выше разложения

и это позволяет нам выяснить поведение проекций кривой на три плоскости триэдра Серре — Френе в окрестности точки при допущении, что отличны от нуля в рассматриваемой точке (т. е. что точка обыкновенная по крайней мере третьего порядка).

На соприкасающейся плоскости проекция касается в точке оси и обращена вогнутостью в сторону вектора На нормальной плоскости проекция имеет в точку возврата первого рода с полукасательной и эта полукасательная расположена с той же стороны, что и относительно оси Все это совпадает с интуитивной интерпретацией свойств соприкасающейся полуплоскости, о которой мы уже упоминали в (I, 1,6), а именно,

что репер, имеющий ребром касательную и содержащий соприкасающуюся полуплоскость, содержит целую окрестность точки

На спрямляющей плоскости в зависимости от знака мы имеем две различные картины, что позволяет дать интерпретацию знака этой величины. При обычной ориентации пространства наблюдатель, стоящий на соприкасающейся плоскости в точке главной нормали, близкой к видит, что точка, описывающая кривую и поднимающаяся по отношению к наблюдателю в окрестности точки вращается справа налево, когда и слева направо, когда Обычный винт, который завинчивают слева направо, имеет положительное кручение.

Рис. 28.