5. Положение кривой в окрестности точки по отношению к триэдру Серре — Френе. Знак кручения.
В окрестности точки 
криволинейную абсциссу которой мы предположим равной нулю, мы имеем, при условии существования и непрерывности производных до достаточно высокого порядка,
где индекс 
указывает, что производные берутся в точке 
Дифференцируя второе из уравнений (2.3), имеем, с другой стороны,
Выбрав в качестве осей координат 
те оси, которые определены триэдром Серре—Френе в точке 
мы получаем из приведенного выше разложения
и это позволяет нам выяснить поведение проекций кривой на три плоскости триэдра Серре — Френе в окрестности точки 
при допущении, что 
отличны от нуля в рассматриваемой точке (т. е. что точка обыкновенная по крайней мере третьего порядка).
На соприкасающейся плоскости проекция касается в точке 
оси 
и обращена вогнутостью в сторону вектора 
На нормальной плоскости проекция имеет в 
точку возврата первого рода с полукасательной 
и эта полукасательная расположена с той же стороны, что и 
относительно оси 
Все это совпадает с интуитивной интерпретацией свойств соприкасающейся полуплоскости, о которой мы уже упоминали в (I, 1,6), а именно,
что репер, имеющий ребром касательную и содержащий соприкасающуюся полуплоскость, содержит целую окрестность точки 
На спрямляющей плоскости в зависимости от знака 
мы имеем две различные картины, что позволяет дать интерпретацию знака этой величины. При обычной ориентации пространства наблюдатель, стоящий на соприкасающейся плоскости в точке главной нормали, близкой к 
видит, что точка, описывающая кривую и поднимающаяся по отношению к наблюдателю в окрестности точки 
вращается справа налево, когда 
и слева направо, когда 
Обычный винт, который завинчивают слева направо, имеет положительное кручение.
Рис. 28.
