9. Алгебраические дифференциальные инвариантные формы.

Мы будем заниматься почти исключительно эллиптическим случаем.

Изменения, которые следует внести в наши рассуждения в других случаях, почти очевидны.

В эллиптическом случае мы встречались с формой

Возвращаясь к уравнениям и легко видеть, что

Рассмотрим теперь заданное представление некоторой поверхности. Положим

являются ковариантными компонентами вектора ковариантными компонентами вектора Что касается их контравариантных компонент, то мы имеем

откуда для вычисления инвариантных производных функции имеем

Теперь получаем

Положим

Эту форму можно вычислить, исходя изаналитического предста» вления поверхности. Из (9.1) и (9.2) выводим, что

Отсюда получаем, что

Итак, имеем окончательно

где

Мы получим новую инвариантную форму, исходя из

Отсюда, принимая во внимание получаем

что приводит нас к введению формы третьего порядка

которая, следовательно, вычисляется с помощью заданного аналитического представления по формуле

Зная формы можно вычислить Действительно, рассмотрим линейный множитель в выражении для Можно положить , где нужно определить таким образом, чтобы

было точным квадратом, что определяет с точностью до знака. Полагая, далее,

мы видим, что тот факт, что К должно быть положительным, определяет знак а.

Итак, мы получили формы Исходя из выражения для мы определяем, далее, наконец, знак формы определяется равенством

Написав мы получаем, далее, форму и вектор Затем можно написать последнюю формулу (1.8в), которая и дает остальные инварианты.