15. Метрические связности. Пространства Эддингтона, Вейля и Эйнштейна.

Чтобы сделать из касательного пространства (3.1) метрическое эвклидово пространство, нужно иметь в точке дифференциальную квадратичную симметричную форму

мы будем считать ее инвариантной. Здесь представляет элемент дуги кривой, когда правая часть равенства (15.1) положительна и введено обозначение

(откуда следует, что скалярный квадрат вектора равен ). Выражения представляют собой компоненты ковариантного тензора.

Физики-теоретики исходили из очень различных принципов для определения Приведем один из наиболее сложных способов, предложенный в основном Эддингтоном. Полагают

где тензорное ковариантное поле третьего порядка (симметричное по ). Задав форму (15.1) , в точке переносят ее в точку вдоль некоторой кривой у. Мы оставляем читателю разработку теории этих связностей.

Мы разовьем другой принцип. Пусть произвольный вектор, связанный с точкой его длина. В точке мы рассмотрим вектор полученный параллельным перенесением первого; это означает, что

Пусть его длина. Положим

где заданное поле ковариантных векторов. Внешним дифференцированием получаем

обозначает тензор (14.3), названный Вейлем (в том случае, когда тензор кручения равен нулю) тензором сегментарной кривизны.

Теперь запишем, что эта связность совместима с существованием в каждой точке формы (15.1), т. е. тензорного поля для меры длин. Мы должны иметь, поскольку

С другой стороны, (15.4) дает

откуда получается необходимое и достаточное условие:

Если (или ), мы скажем, что метрическая связность (15.1) совместна с аффинной связностью (3.1). Тогда мы получаем результат

известный под названием леммы Риччи и выражающий тот факт, что тензор является стационарным.

Система (15.5) эквивалентна в общем случае соотношениям. Если форма (15.1) и форма заданы, то система не определяет полностью функций Ты, число которых равно Напротив, существует одна, и только одна, связность с нулевым кручением,

являющаяся решением этой системы (тогда имеется не более независимых функций ).

Возьмем, например, тогда симметричны по и (15.5) запишется в виде

откуда

Наконец, так как форма (15.1) определяет в касательном пространстве структуру эвклидова пространства, то мы рассмотрим и эти тензоры как эвклидовы. Приняв правило для индексов, которое определяет эвклидова структура, мы получаем

Такое пространство называется пространством Вейля. Его связность определяется, если сказать, что его касательное линейное пространство наделено структурой эвклидового пространства при помощи формы (15.1), что изменение длины сегмента, перемещающегося параллельно самому себе, задано формулой (15.4) и, наконец, что его кручение равно нулю. Уравнения (15.5) запишутся в виде

Из них получаем внешним дифференцированием

или

Полагая теперь

можно записать это соотношение в виде

Эта последняя формула показывает, что тензор названный Вейлем тензором кривизны направления, антисимметричный по является также антисимметричным по

Отметим также, что свертывание выражения (15.7) с дает

Важный частный случай пространства Вёйля, теория которого была разработана значительно ранее общей теории аффинной связности и теории пространств Вейля, — это случай, когда пространство называется тогда римановым. Приведем его точное определение:

Римановым пространством (или пространством Римана) называется пространство аффинной связности без кручения, допускающее метрическую связность, совместную с аффинной связностью.

Римановы пространства будут изучаться в следующей главе. Римановым пространством с кручением называют пространство-аффинной связности, снабженное метрической связностью (15.1), совместной с аффинной связностью, и не являющееся римановым (т. е. его тензор кручения не равен тождественно нулю); основной: тензор удовлетворяет в этом случае условию Риччи (15.5).

Пространством Эйнштейна называют риманово пространство с кручением и нулевой кривизной. Написав где положено и полагая

так что симметричны по и имеем

откуда

Выражая далее при помощи соотношений (7.2) то, что тензор кривизны равен нулю, мы получаем соотношения между тензорами и тензором кручения, необходимые и достаточные для того, чтобы пространство было пространством Эйнштейна.