7. Изотропные конгруэнции.

В § 3 мы видели, что при для триэдров первого порядка положение вершин (средней точки) на образующей вполне определено, но эти триэдры зависят еще от одного параметра.

В произвольной конгруэнции такие образующие будут, вообще говоря, исключительными, их называют омбиликальными; если все образующие конгруэнции будут омбиликальными, то конгруэнция называется изотропной.

Полагая внешним дифференцированием получаем

отсюда, варьируя последний вторичный параметр, находим

Можно, следовательно, выбрать последний параметр так, чтобы (кроме случая , который мы будем исключать); мы имеем, таким образом, в качестве триэдра Френе триэдр второго порядка; поскольку в силу (3.6) мы имеем теперь

то это сводится к тому, что будет постоянным вдоль кривых

Однако делать это приведение не представляет интереса; мы будем изучать изотропную конгруэнцию с системой триэдров первого порядка, т. е. возьмем для перемещений триэдра формулы (3.7), принимая и условия интегрируемости (3.6). Мы выберем на сфере два семейства ортогональных координатных линий и положим но не будут инвариантными формами.

Форма II будет пропорциональна форме I, форма III будет равна нулю, следовательно:

Все линейчатые поверхности, проходящие через одну и ту же прямую изотропной конгруэнции, имеют одну и ту же центральную точку (среднюю точку луча) и один и тот же параметр распределения.

Из (5.5) следует, что , т. е. соответствующие касательные на сфере и на средней поверхности будут ортогональны. Обратно, если каждой точке сферы поставить в соответствие току так, чтобы то конгруэнция, которая получится, если проводить через точку параллель к вектору будет изотропной конгруэнцией, так как, полагая

мы должны иметь

и, следовательно, можно положить

вторая квадратичная форма рассматриваемой конгруэнции будет иметь вид

таким образом, формы I и II будут пропорциональны, конгруэнция будет изотропной.

Что касается фокусов (мнимых для действительной конгруэнции), то имеем

и фокальные плоскости будут изотропными плоскостями, проходящими через образующую; они будут также развертывающимися поверхностями конгруэнции, поскольку они имеют сферическими изображениями прямолинейные образующие сферы Фокальные поверхности конгруэнции будут, следовательно, развертывающимися изотропными поверхностями (комплексно сопряженными для действительной конгруэнции). Обратно, если конгруэнция имеет фокальными поверхностями две изотропные развертывающиеся поверхности, то это изотропная конгруэнция, потому что вдоль одной образующей фокальные плоскости будут изотропны; впрочем, имеем

это показывает, что нормаль в точке имеет направление Ищем ребро возврата этой фокальной полости; если означает текущую точку в касательной плоскости, то имеем

дифференцируя дважды, получаем соотнощения

Первое из этих соотношений дает нам характеристическую точку в виде

второе дает

Поступая так же с находим окончательно

и две кривые, описанные точками будут линиями нулевой длины. Поверхность

будет, следовательно, минимальной поверхностью как поверхность переноса этих изотропных линий. Можно также определить ее, как огибающую плоскостей, перпендикулярных к лучу конгруэнции проходящих через его среднюю точку. Эти плоскости имеют уравнение

откуда при помощи дифференцирования по параметрам получаем

Поскольку линейно независимы, это равенство эквивалентно следующим:

эти соотношения показывают, что огибающая плоскостей (7.4) будет действительно поверхностью (7.3) (Рибокур).